Problème de Monty
Hall
Ce problème est connu sous le nom de dilemme Monty Hall, du nom de
l’animateur du jeu télévisé Let’s make a deal.
Notre intuition nous dit, très clairement et très distinctement, que le prix
convoité peut également se trouver derrière chacune des trois portes, avec à
chaque fois une probabilité de 1/3. Telle était bien la situation au moment où
vous avez fait votre choix. Mais que se passe-t-il quand l’animateur ouvre une
porte derrière laquelle se trouve une chèvre? Ici encore, notre intuition nous
dit deux choses, toujours aussi clairement et distinctement.
La première est que cette nouvelle donnée change la probabilité
que le prix se trouve derrière l’une ou l’autre des deux portes restantes :
chacune ne peut plus avoir désormais non plus 1 chance sur trois d’être la
bonne.
La deuxième est qu’aucune des portes n’a plus de chance que
l’autre d’être la bonne. Il s’ensuit qu’il est indifférent que l’on change ou
non de porte et que chacune des deux a une chance sur deux de contenir le prix
convoité.
Vous êtes d’accord? Vous avez tort. Mais rassurez-vous : même d’excellents
mathématiciens se sont trompés, eux aussi.
Reprenons tout cela doucement.
Nous devons tenir compte de trois choses. D’abord, de l’endroit où se trouve la
voiture durant une partie : celle-ci, comme on sait, peut indifféremment être
derrière l’une ou l’autre des trois portes, ce qui fait qu’il y a trois cas à
examiner. Ensuite, des conséquences qu’aurait le fait de changer de porte dans
chacun de ces trois cas. Enfin, nous devons déterminer les conséquences
qu’aurait le fait de ne pas changer de porte, toujours dans chacun de ces trois
cas. Une fois cela accompli, nous serons en mesure de constater s’il y a ou non
un avantage à changer.
Nous pouvons représenter tout cela dans un tableau.
Dans ce tableau, on indique en gras l’endroit où se trouve la
voiture pour une partie donnée. Par convention, on suppose que le concurrent a
choisi la porte 1. On se souviendra que le meneur de jeu ouvre toujours une
porte derrière laquelle se trouve une chèvre, soit une porte perdante (il ouvre
soit la porte 2 ou la porte 3).
Pour les trois premières parties, le concurrent a choisi de changer de porte.
Les trois parties suivantes (partie 4, 5, et 6) examinent les cas où le
concurrent a choisi de ne pas changer de porte.
PARTIE 1
PORTE 1 PORTE 2 PORTE 3
Voiture Chèvre Chèvre
Il change et perd
PARTIE 2
PORTE 1 PORTE 2 PORTE 3
Chèvre Voiture Chèvre
Il change et gagne
PARTIE 3
PORTE 1 PORTE 2 PORTE 3
Chèvre Chèvre Voiture
Il change et il gagne
PARTIE 4
PORTE 1 PORTE 2 PORTE 3
Voiture Chèvre Chèvre
Chèvre Voiture Chèvre
Il ne change pas et il perd
PARTIE 6
Chèvre Chèvre Voiture
Les animateurs de Myth Busters ont déjà tenté l'expérience. Tu peux retrouver la séquence en cliquant sur le lien ci-dessous, par contre le vidéo est en anglais:
Le vidéo est en russe car les liens français et anglais sont inexistants sur youtube. Vous pouvez tout de même comprendre qu'un des deux animateurs ne change jamais de porte et l'autre change toujours. Vous remarquerez que celui qui change de porte gagne beaucoup plus souvent que celui qui ne change jamais.