Le tracé de cercles par un ordinateur

L'infographie regorge d'applications visuellement excitantes du théorème de Pythagore. En particulier, le seul fait de faire tracer un cercle à un ordinateur fait appel au théorème en question. Et il faut tracer un grand nombre de cercles pour fabriquer certaines figures (dont l'exemple suivant).

Bien entendu, l'ordinateur ne peut utiliser un crayon pour suivre les contours d'une forme ronde, ou se servir d'un compas. Tout ce qu'il peut faire, c'est de choisir la couleur à donner aux divers pixels qui constituent son écran. Nous allons illustrer ce mécanisme au moyen de la simulation ci-dessous, dont les diverses composantes peuvent être cachées ou révélées par un clic sur la case à cocher correspondante.

Dans notre simulation (en supposant que toutes les composantes soient visibles)
• Le cercle mathématique que nous désirons représenter sur notre écran d'ordinateur est dessiné en noir.
• Le centre du cercle est représenté par un carré/pixel vert.
• Les carrés noirs (ou gris foncé) correspondent à des points calculés par le théorème de Pythagore.
   En fait, si les coordonnées du point noir sont (x,y) et si le centre du cercle est à l'origine (0,0),
   la valeur de y est obtenue en résolvant la relation de Pythagore $x^2+y^2=r^2$ par rapport
   à y : $y=\sqrt{r^2-x^2}$ (qu'on doit ensuite arrondir au pixel le plus proche).
• les carrés gris (pâle) correspondent à des points obtenus à partir de points calculés par diverses
   symétries. En effet, si (x,y) est un point d'un cercle centré à l'origine, il en sera de même des points
   (-x,y), (x,-y) et (-x,-y), ainsi que des points (y,x), (-y,x), (y,-x) et (-y,-x).

La première glissière permet de spécifier la taille des pixels qui seront utilisés pour réaliser la représentation de notre cercle sur l'écran de l'ordinateur. On remarque tout de suite que, plus les pixels sont petits (et nombreux), plus la représentation sera fidèle.

La seconde glissière permet de passer en revue les pixels calculés (en rouge), ainsi que les pixels correspondants (en rose) obtenus par diverses symétries. Quand un pixel calculé s'affiche (en rouge), on peut  visualiser comment on utilise le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d'un côté du triangle rectangle (en orange) en fonction des deux autres (en bleu).

Notons qu'il est beaucoup plus long, pour un ordinateur, de calculer des produits et (surtout) des racines carrées que de changer un signe : la stratégie que nous avons utilisée est donc avantageuse, puisqu'elle permet, grosso modo, de diviser par huit les calculs complexes.

Mais ce n'est qu'un début : il existe des algorithmes plus sophistiqués pour réaliser plus efficacement le tracé de cercles (voir cette référence) et pour améliorer l'apparence de ceux-ci (voir cette autre référence). À vous de voir si ça vous intéresse...