Programme du cours hebdomadaire
Chapitre 1 : Espaces vectoriels et applications linéaires
Espaces vectoriels sur un corps (espaces vectoriels réels), bases et dimension, sous-espaces, espace dual,
applications linéaires.
exposé 1
exposé 2
exposé 3-4
exposé 5
exposé 6
exercices 1
solutions d'exercices 1
exercices 2
Matrices, la matrice d'une application linéaire (voir aussi exposé 6). Le théorèeme de rang et
l'alternative de Fredholm. L'application transposée. Groupes et algebres de Lie classiques.
exposé 7
exposé 8
exposé 9
exercices 2
Chapitre 2 : La structure des opérateurs linéaires sur un espace vectoriel de dimension fini
Formes normales pour les matrices d'une application linéaire : l'enoncé du théorème de Jordan.
Opérateurs linéaires diagonalisables. La trace, la déterminante et le polynome caractéristique d'un opérateur linéaire.
Diagonalisation des opérateurs linéaires avec spectre simple. Critère de diagonalisabilité d'un op\'erateur
linéaire : projecteurs et involutions.
exposé 10
exposé 11
exercices 3
solutions d'exercices 3
Démonstration du théorème de Jordan (lecture libre/materiel optionnel).
exposé-jordan-1
exposé-jordan-2
Forme normale de Jordan pour les matrices (2x2) et (3x3).
exposés 12 et 13
exercices 4
Devoir 1
Théorème de Cayley-Hamilton et le polynome minimal d'un opérateur.
Critère de diagonalisation en termes du polynome minimal. Diagonalisations des opérateurs périodiques. Décompostion de Jordan d'un opérateur. L'exponentielle d'un opérateur.
exposé 14
exposé 15
exercices 5
Chapitre 3 : Formes bilinéaires et produits euclidiens
Formes multi-linéaires. Formes bi-linéaires et matrice de Gram. Isomorhisme canonique entre l'espace de formes bi-linéaires sur L et l'espaces d'applications
linéaires de L dans son dual. Formes normales et bases canoniques pour les formes bi-linéaires symétriques et anti-symétriques.
exposé 16
exposé 17
exposé 18
exposé 19
exercices 6
exercices 7
Produits euclidiens. Critère de Sylvester. La méthode de Gram-Schmidt pour trouver une base orthonormale.
Opérateurs orthogonaux et le théorème d'Euler.
Opérateurs adjoints et diagonalisation des matrices symétriques. Décomposition polaire. Un théorème de Schur.
exposé 20
exposé 21
exposé 22
exercices 8
Devoir 2