Programme hebdomadaire du cours
Chapitre 1 : Espaces vectoriels et applications linéaires (rappels)
Espaces vectoriels sur un corps (espaces vectoriels réels), bases et dimension, sous-espaces.
Applications lineaires, theoreme du rang. L'espace dual. Isomorphismes canoniques.
Position des sous-espaces, sommes directes des espaces vectoriels. Projecteurs. Espaces quotients.
Indice d'une application linéaire. Probleme d'extension et applications quotientes.
Dualité, couplage canonique bilinéaire entre un espace vectoriel et son dual. Application duale et matrice trasposée.
Le complement dual d'un sous-espace.
Chapitre 2 : La structure des opérateurs linéaires
Opérateurs diagonalisables; polynome characteristique ; polynome minimal; base de Jordan. (Rappels)
Démonstration du theoreme de Jordan.
devoir 1
Chapitre 3 : Espaces vectoriels euclidiens et unitaires
Forme réelle d'un espace vectoriel complexe. Structures complexes sur un espace vectoriel réel. Complexification d'un espace vectoriel réelle et structures réelles.
Produit euclidien sur un espace vectoriel réel. La projection orthogonale et bases orthonormales.
Produits unitaires sur un espace vectoriel complexe. Le produit euclidien sur la forme réelle. Applications : inegualité de Cauchy-Schwarz, existence d'une base hermitienne.
Opérateurs orthogonaux et unitaires. Formes normales et le Théorème d'Euler.
Opérateurs auto-adjoints et formes hermitiennes/symétriques. Théorème de diagonalisation. L'exponentielle d'une matrice hermitienne.
Liste d'exercices
Chapitre 4 : Produit tensoriel
Le produit tensoriel des espaces vectoriels. Le cas des espaces de dimension finie : bases et dimension. Produit tensoriel des applications linéaires. Le produit tensoriel des matrices.
devoir 2