Programme du cours
Chapitre 1 : Rappels sur analyse complexe I
Les trois caractérisations d'une fonction holomorphe : les conditions de Riemann, de Cauchy et de Weirstrass.
Rappels sur la C-différentiabilite: La notion d'une transformation conforme et le théorème de Riemann.
Exercices 1
La droite complexe élargie et les transformations de Mobius.
L'application de Cayley et l'équivalence biholomorphe entre le demi-plan et le disque unitaire. Les automorphismes de Mobius de la droite projective,
la droite complexe et le disque.
Exercices 2
Chapitre 2 : Les automorphismes des ceratins domaines.
La formule intégrale de Cauchy sur un disque et applications : le principe du module maximum, le théorème de Cauchy-Taylor du développement
d'une fonction C-différentiable; le théorème de Liouville. Le lemme de Schwarz et les automorphismes du disque.
Exercices 3
Singularités isolées d'une fonction holomorphe.
Singularités effacables et le théorème de Riemann d'extension ; poles et la caractérisations des poles par limite à l'infini ; singulariées
essentielles et le théorème
Casorati-Weirstrass. Applications : les automorphismes de la droite complexe et de la droite projective.
Les automorphismes des domains bornés et poncturés : le cas de C\{0} et D\{0}.
Exercices 4
Chapitre 3 : Théorème de Riemann d'uniformisation de domaines connexes et simplement connexes.
Enoncé du théorème de Riemann. Réduction au sous-domaines du disque. Démonstration du théorème de Riemnann modulo le principe de
compacité et le théorème de Hurwitz.
Théorème de Rouché et démonstration du théorème de Hurwitz. Le théorème de compacité des famillies de
fonctions holomorphes uniformément bornées.
Devoir I
Théorème de Carathéodory de la correspondence des frontières.
Chapitre 4 : Continuation analytique
Définition et le principe d'unicité. Exemples. Le principe de la symétrie de Riemann-Schwartz. Le principe de la continuation analytique au dela d'un bord analytiques.
Les théorèmes d'uncité des biholomorphismes.
Exercices 5
Prolongations analytiques : chaines d'élements complets. Exemple : la racine de z. Prolongation analytique le long d'un chemin. Unicité.
Le théorème de monodromie. Applications: la fonction modulaire sur le dsique et le (petit) théorème de Picard.
Exercices 6