Programme du cours
Chapitre 1 : Rappels sur le calcul différentiel dans un espace euclidien
Espaces affines et espaces euclidiens : points et vecteurs, structures affines, coordonées affines.
Dérivé directionnelle d'une fonction ; l'espace tangent ; champs de vecteurs lisses et leur le crochet de Lie.
Chapitre 2 : Courbes
Le produit euclidien : distance euclidienne et la longueur d'une courbe.
L'espace eucludien comme espace métrique. Les isométries de l'espace euclidien et congruences.
Parametre naturel d'une courbe regulière.
Courbes dans l'espace euclidien : les droites affines, les cercles, reparamétrisations d'une courbe.
Coubes planes. Courbes définies par des équations - les coniques. Courbure et classification des courbes planes.
exercices sur les courbes planes
Le produit exterieure et orentations : repères mobiles et base de Frénet associée à une courbe
Invariants locauix d'une courbe. Théorème de Frénet et applications : caractérisation de la droite affine,
du cercle, les courbes planes. Caractérisation des courbes congruentes.
exercices sur les courbes
devoir I
Chapitre 3 : Surfaces dans l'espace euclidien
Surfaces régulières. Trois définitions équivalentes. L'espace tangent.
Propriétés isométriques des surfaces. La distance euclidienne, le volume.
La prémière forme fondamentale dans une carte.
Deuxième forme fondamentale et courbures. L'expression de la courbure de Gausse dans une carte.
exercices sur les surfaces
La formule de Liouville pour la courbure de Gauss dans une carte isotherme et le théorème egreguim de Gauss.
Existence des coordonées isothermes. Classification locale des surfaces à courbure de Gauss constant.
devoir 2
Chapitre 4 : Cacluls sur les courbes et les surfaces
Formes différentielles dans l'espace euclidien : la différentielle d'une fonction lisse ; formes extérieures ; integration d'une 1-forme différentielle le longue
d'une courbe lisse.
Applications lisses entre espaces euclidiens : la différentielle d'une application.
Champs de vecteurs lisses et formes differentielles sur une surface. Calculs sur une surface.
Surfaces orientables et simplement connexes.
Le genre d'une surface compacte connexe et l'enoncé du théorème de Poincaré.