MAT 9231 Géométrie riemannienne

Exposés

Jeudi, 9:00-12:00 PK 5675 (entre les couloirs),

Consultations

en prenant un rendez-vous par courriel (apostolov.vestislav@uqam.ca)

Description du cours

Ce cours est proposé comme une introduction à la géométrie riemannienne. Nous couvrirons les sujets classiques suivants : Variétés riemanniennes, connexions, géodésiques. Exemples de variétés riemanniennes. Courbure sectionnelle, courbure de Ricci, courbure scalaire. Lemme de Gauss, application exponentielle, théorème de Hopf-Rinow. Transport parallèle, holonomie, théorème d'irréductibilité et de De Rham. Variations première et seconde, champs de Jacobi, cut locus. Théorème de Bonnet-Myers, théorème de Synge, théorème de Cartan-Hadamard. Théorème de comparaison de Rauch, Alexandrov et Toponogov. Submersion riemannienne, espaces homogènes riemanniens, espaces symétriques, l'exemple de l'espace projectif complexe. Théorème de Hodge-De Rham. Théorème de Bochner. Volume, théorèmes de Bishop et de Heintze-Karcher. Sous-variétés, seconde forme fondamentale, équation de Gauss. Inégalités isopérimétriques. Géométrie spectrale. Théorème de finitude de Cheeger.

Plan officiel du cours

Suggestions de sujets pour l'examen oral

Programme détailé du cours (sujet par sujet)

  • Géométrie différentielle : variétés différentiables; espace tangent ; champs de vecteurs, formes différentielles ; tenseurs ; fibrations; fibrés vectoriels, le théorème de Hopf.
    Une excellente référence pour cette partie se trouve ici : Notes de cours par Nigel Hitchin


  • Existence de métriques riemanniennes et réduction du groupe structurel via tenseurs non-dégénérés : orientation, structures presque-complexes, formes pré-symplectiques.


  • Premiers exemples de variétés riemanniennes : l'espace euclidien, la sphère, l'espace hyperbolique réel. Le groupe d'isométries et variétés riemanniennes homogènes.


  • Submersions riemanniennes : la métrique canonique de l'espace projectif complexe. Groupes de Lie compacts et la métrique de Killing. Les espaces homogènes comme submersions riemanniennes. Quotients et revetements riemanniens : l'espace projectif réel ; les tores plats ; variétés hyperboliques (réelles et complexes).


  • Théorie de connexions : la dérivée covariante comme opérateur différentiel linéaire d'ordre un sur l'espace des sections lisses d'un fibré ; transport parallèle et groupe d'holonomie ; la courbure d'une connexion ; le lien entre la courbure et le groupe d'holonomie : le théorème d'Ambrose-Singer ; sections parallèles et connexions plates.



    Devoir I

  • La connexion riemannienne : expression de la dérivée de Lie et de la différentielle des formes en termes de la connexion riemannienne ; isomorphismes musicales. Initiation au calcul infinitésimal : champs de Killing et les sous-groupes d'un paramettre d'isométries riemanniennes ; les champs de Killing comme sections parallèles du fibré de tracteurs ; l'espace des champs de Killing comme l'algèbre de Lie du groupe d'isométries riemanniennes ; le théorème de Konstant d'annulation d'un champs de Killing.


  • Propriétés locales de géodésiques : existence locale, application exponentielle, coordonnées normales, voisinages géodésiquement convexes.


  • Propriétés globales de géodésiques : théorème de Lusternik-Jost, théorème de Hopf-Rinow, caractérisation des revetements riemaniens comme isométries locales. Varétés riemanniennes plates.



    Devoir II

  • Variation première et seconde de l'énergie : théorèmes de Synge, Mayers et Hadamard-Cartan. Uniformisation des varétés riemanniennes à courbure sectionnelle constante.