MAT 9231 Géométrie riemannienne

Exposés

Jeudi, 10:30-12:00, 1213:30-15:00 PK 5333,

Consultations

en prenant un rendez-vous par courriel (apostolov.vestislav@uqam.ca)

Description du cours

Ce cours est proposé comme une introduction à la géométrie riemannienne. Nous couvrirons les sujets classiques suivants : Variétés riemanniennes, connexions, géodésiques. Exemples de variétés riemanniennes. Courbure sectionnelle, courbure de Ricci, courbure scalaire. Lemme de Gauss, application exponentielle, théorème de Hopf-Rinow. Transport parallèle, holonomie, théorème d'irréductibilité et de De Rham. Variations première et seconde, champs de Jacobi, cut locus. Théorème de Bonnet-Myers, théorème de Synge, théorème de Cartan-Hadamard. Théorème de comparaison de Rauch, Alexandrov et Toponogov. Submersion riemannienne, espaces homogènes riemanniens, espaces symétriques, l'exemple de l'espace projectif complexe. Théorème de Hodge-De Rham. Théorème de Bochner. Volume, théorèmes de Bishop et de Heintze-Karcher. Sous-variétés, seconde forme fondamentale, équation de Gauss. Inégalités isopérimétriques. Géométrie spectrale. Théorème de finitude de Cheeger.

Plan officiel du cours

Programme détailé du cours (sujet par sujet)

  • Géométrie différentielle : variétés différentiables; espace tangent ; champs de vecteurs, formes différentielles ; tenseurs ; fibrations; fibrés vectoriels, le théorème de Hopf.
    Une excellente référence pour cette partie se trouve ici : Notes de cours par Nigel Hitchin

  • Existence de métriques riemanniennes et réduction du groupe structurel via tenseurs non-dégénérés : orientation, structures presque-complexes, formes pré-symplectiques.


  • Premiers exemples de variétés riemanniennes : l'espace euclidien, la sphère, l'espace hyperbolique réel. Le groupe d'isométries et variétés riemanniennes homogènes.


  • Submersions riemanniennes : la métrique canonique de l'espace projectif complexe. Groupes de Lie compacts et la métrique de Killing. Les espaces homogènes comme submersions riemanniennes. Quotients et revetements riemanniens : l'espace projectif réel ; les tores plats ; variétés hyperboliques (réelles et complexes).


  • Théorie de connexions : la dérivée covariante comme opérateur différentiel linéaire d'ordre un sur l'espace des sections lisses d'un fibré ; transport parallèle et groupe d'holonomie ; la courbure d'une connexion ; le lien entre la courbure et le groupe d'holonomie : le théorème d'Ambrose-Singer ; sections parallèles et connexions plates.


    • Devoir I

  • La connexion riemannienne : expression de la dérivée de Lie et de la différentielle des formes en termes de la connexion riemannienne ; isomorphismes musicales. Initiation au calcul infinitésimal : champs de Killing et les sous-groupes d'un paramettre d'isométries riemanniennes ; les champs de Killing comme sections parallèles du fibré de tracteurs ; l'espace des champs de Killing comme l'algèbre de Lie du groupe d'isométries riemanniennes ; le théorème de Konstant d'annulation d'un champs de Killing.


  • Propriétés locales de géodésiques : existence locale, application exponentielle, coordonnées normales, voisinages géodésiquement convexes.

  • Propriétés globales de géodésiques : théorème de Lusternik-Jost, théorème de Hopf-Rinow, caractérisation des revetements riemaniens comme isométries locales. Varétés riemanniennes plates.

    Devoir II

  • Variation première et seconde de l'énergie : théorèmes de Synge, Mayers et Hadamard-Cartan. Uniformisation des varétés riemanniennes à courbure sectionnelle constante.