Kahler geometry of toric manifolds

Exposés : Mercredi, 09:00-12:00, PK-R210

Consultations : en prenant un rendez-vous par courriel

apostolov.vestislav@uqam.ca

Description du cours

Ce cours a un double objectif. Dans un premier temps, nous introduirons la notion de variété torique, de deux points de vue complémentaires : le point de vue de la géométrie symplectique et les actions hamiltoniennes (la théorie de Delzant) et le point de vue de la géométrie algérique complexe (la théorie des polytopes entiers et les éventails). Dans une deuxième partie du cours, nous nous spécialiserons dans l'étude de la géométrie riemannienne des variétés toriques et décrirons les métriques riemanniennes compatibles en termes de fonctions convexes lisses sur le polytope de Delzant correspondant (la théorie d'Abreu-Guillemin). Ceci nous conduira à notre objectif final qui est de présenter la résolution récente (obtenue par Chen-Cheng en 2021) de la conjecture de Yau-Tian-Donaldson, donnant une condition nécessaire et suffisante, exprimée en termes du polytope de Delzant correspondant, pour quÕune variété torique admette une métrique riemannienne compatible de courbure scalaire constante.

Cours description

 The purpose of this graduate course is to two-fold. In the first part of the course, we will introduce and study the notion of a (compact, smooth) toric manifold from two complementary points of view: the point of view of symplectic geometry and Hamiltonian actions (the Delzant theory) and the point of view of complex algebraic geometry (the theory of lattice polytopes and fans). In the second part of the course, we will specalize to the study of riemannian geometry of toric manifolds and describe the compatible riemannian metrics in terms of smooth convex functions on the corresponding Delzant polytope (the Abreu-Guillemin theory). This will lead us to our main objective which is a gentle introduction to the recent resolution of the Yau-Tian-Donaldson conjecture (obtained by Chen-Cheng in 2021) giving a necessary and sufficient condition, expressed in terms of the corresponding Delzant polytope, for a compact smooth toric manifold to admit a compatible riemannian metric of constant scalar curvature. The only prerequisite required is a first course in differential geometry on manifolds.

Références:

 Les notes prises par les étudiant(e)s en classe seront la source principal. Les exposées seront construits à partir des textes suivants:

  • V. Apostolov, The Kaehler geometry of toric manifolds, CIRM (Luminy) 2019, pdf

  • Ana Cannas da Silva, Symplectic Toric Manifolds, CRM (Barcelona) 2001, page-web

  • Handwritten notes, uniform K-stability, part1 pdf

  • Handwritten notes, uniform K-stability, part2 pdf


    • Voici quelques références supplémentaires:

  • D. Cox, J. Little and H. Schenk, Toric Varieties, Graduate Studies in Math., AMS, 2011.

  • V. Guillemin, Moment Maps and Combinatorial Invariants of Hamiltonian T^n-spaces, Progress in Math. 122, Birkhauser, 1994.

  • P. Griffiths, J. Harris, Principles of algebraic geometry, Wiley, New York, 1978.

  • S. Kobayashi and K. Nomizu. Foundations of Differential Geometry. Vol. I and II. Interscience Pub.

  • D. McDuff and D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology}, Oxford Science Publications, 1998.

  • F. Warner. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer-Verlag.


    Programme du cours (hebdomadaire)

  • Semaine 1 : Rappels sur la géométrie symplectique: espaces vectoriels symplectiques; variétés symplectiques lisses: exemples. Actions symplectiques de groupes de Lie. Actions hamiltonniennes. Définition d'une variété torique symplectique.

  • Semaine 2 : Exemples de variétés toriques: R^{2n}, S^2, CP^n. Reduction symplectique et submersion riemannienne.