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Les courbes algébriques

Dans un contexte scolaire, on introduit souvent les coniques via leurs équations.

Dans un premier temps, on utilise des formes simplifiées des équations, qui supposent que les courbes sont "bien placées" par rapport au système d'axes. Ainsi, on pourra décrire
  • les paraboles via l'équation
     
  • les ellipses via l'équation
  • les hyperboles via l'équation
Par la suite, si on permet d'appliquer des translations à nos courbes, on obtiendra les équations sous une forme un peu plus générale
  • l'équation de la parabole devient
  • l'équation de l'ellipse devient
  • l'équation de l'hyperbole devient
Enfin, si on permet d'appliquer aussi des rotations à nos courbes, on obtient l'équation générale suivante
qui couvre aussi le cas des coniques dégénérées
  • un point
  • deux droites
  • une droite
Une dernière remarque:  dans l'équation générale, on peut supposer que tous les coefficients sont (en valeur absolue) plus petits ou égaux à 1. (Pourquoi ?)  Ceci nous permet d'obtenir, à l'aide du logiciel Graphing Calculator, une représentation dynamique de la courbe associée à l'équation (sous sa forme générale). L'image ci-dessous reproduit une fenêtre de ce logiciel, où l'on peut remarquer les 6 glissières permettant de varier gestuellement les coefficients entre -1 et +1.


 
Par un clic sur l'icône de gauche, vous pourrez vous rendre à une page web où vous pourrez télécharger le lecteur Graphing Calculator. Vous pouvez télécharger le fichier utilisé pour obtenir l'image ci-dessus par un clic-droit (un contrôle-clic, sur Macintosh) sur l'icône de droite.

Appendice technologique

Les formules ont été créées avec l'éditeur d'équations de Microsoft Word. À l'aide d'un clic-droit (ou d'un contrôle-clic sur les Macintosh ne disposant pas d'une souris à deux boutons), on les a ensuite enregistrées en tant qu'images (au format GIF), pour enfin les insérer dans la page web.

L'utilisation de Graphing Calculator est relativement simple. Deux détails méritent peut-être d'être soulignés ici :
  • Nous n'avons pas pu utiliser la lettre e pour représenter un coefficient de l'équation générale, celle-ci étant réservée au nombre d'Euler 2,71828...
  • Les glissières sont créées grâce à la fonction slider. Mais, contrairement à ce qui est affiché après coup, les nombres doivent être séparés par un point-virgule (et l'indicateur décimal doit être une virgule), du moins si votre système d'exploitation est configuré pour suivre les conventions francophones.