Problème de Monty Hall

         Voici un petit problème amusant.

        Clique sur le lie ci-dessous afin d'aller prendre connaissance de ce problème.

• http://jeux-et-mathematiques.davalan.org/proba/3p/index.html

        Ce problème est connu sous le nom de dilemme Monty Hall, du nom de l’animateur du jeu télévisé Let’s make a deal.

        Notre intuition nous dit, très clairement et très distinctement, que le prix convoité peut également se trouver derrière chacune des trois portes, avec à chaque fois une probabilité de 1/3. Telle était bien la situation au moment où vous avez fait votre choix. Mais que se passe-t-il quand l’animateur ouvre une porte derrière laquelle se trouve une chèvre? Ici encore, notre intuition nous dit deux choses, toujours aussi clairement et distinctement. 

        La première est que cette nouvelle donnée change la probabilité que le prix se trouve derrière l’une ou l’autre des deux portes restantes : chacune ne peut plus avoir désormais non plus 1 chance sur trois d’être la bonne.

La deuxième est qu’aucune des portes n’a plus de chance que l’autre d’être la bonne. Il s’ensuit qu’il est indifférent que l’on change ou non de porte et que chacune des deux a une chance sur deux de contenir le prix convoité.

        Vous êtes d’accord? Vous avez tort. Mais rassurez-vous : même d’excellents mathématiciens se sont trompés, eux aussi.

        Reprenons tout cela doucement.

        Nous devons tenir compte de trois choses. D’abord, de l’endroit où se trouve la voiture durant une partie : celle-ci, comme on sait, peut indifféremment être derrière l’une ou l’autre des trois portes, ce qui fait qu’il y a trois cas à examiner. Ensuite, des conséquences qu’aurait le fait de changer de porte dans chacun de ces trois cas. Enfin, nous devons déterminer les conséquences qu’aurait le fait de ne pas changer de porte, toujours dans chacun de ces trois cas. Une fois cela accompli, nous serons en mesure de constater s’il y a ou non un avantage à changer.

        Nous pouvons représenter tout cela dans un tableau.

        Dans ce tableau, on indique en gras l’endroit où se trouve la voiture pour une partie donnée. Par convention, on suppose que le concurrent a choisi la porte 1. On se souviendra que le meneur de jeu ouvre toujours une porte derrière laquelle se trouve une chèvre, soit une porte perdante (il ouvre soit la porte 2 ou la porte 3).

        Pour les trois premières parties, le concurrent a choisi de changer de porte. Les trois parties suivantes (partie 4, 5, et 6) examinent les cas où le concurrent a choisi de ne pas changer de porte.

PARTIE 1

PORTE 1        PORTE 2       PORTE 3
Voiture           Chèvre             Chèvre
Il change et perd

PARTIE 2

PORTE 1        PORTE 2       PORTE 3
Chèvre             Voiture           Chèvre
Il change et gagne

PARTIE 3

PORTE 1        PORTE 2       PORTE 3
Chèvre             Chèvre             Voiture
Il change et il gagne

PARTIE 4

PORTE 1        PORTE 2       PORTE 3
Voiture           Chèvre             Chèvre
Il ne pas change et il gagne

 PARTIE 5

 PORTE 1        PORTE 2       PORTE 3
Chèvre             Voiture           Chèvre
Il ne change pas et il perd

PARTIE 6

 PORTE 1        PORTE 2       PORTE 3
Chèvre             Chèvre             Voiture
Il ne change pas et il perd

        Nous remarquons que le joueur qui change de porte, gagne deux fois sur trois et perd une fois sur trois tandis que le joueur qui ne change pas de porte, gagne une fois sur trois et perd deux fois sur trois.

        Les animateurs de Myth Busters ont déjà tenté l'expérience. Tu peux retrouver la séquence en cliquant sur le lien ci-dessous, par contre le vidéo est en anglais:

• http://www.youtube.com/watch?v=8IUGY6T0x_c

        Le vidéo est en russe car les liens français et anglais sont inexistants sur youtube. Vous pouvez tout de même comprendre qu'un des deux animateurs ne change jamais de porte et l'autre change toujours. Vous remarquerez que celui qui change de porte gagne beaucoup plus souvent que celui qui ne change jamais.