Conflit Aire-Périmètre

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calculer l'aire d'une figure irrégulière:


comment calculer l'aire d'une figure irrégulière

L'aire est la mesure d'une surface délimitée.

En mathématiques, l'aire est une grandeur relative à certaines figures du plan ou des surfaces en géométrie dans l'espace. Le développement de cette notion mathématique est lié à la rationalisation du calcul de grandeur de surfaces agricoles, par des techniques d'arpentage. Cette évaluation assortie d'une unité de mesure est aujourd'hui plutôt appelée superficie.



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calculer le périmètre d'une figure géométrique:


comment calculer le périmètre d'une figure gèométrique

Le périmètre d'une figure est la mesure du contour d'une figure fermée.

En d'autres termes, le périmètre d'une figure plane est la longueur développée du contour de cette figure. Le calcul du périmètre sert par exemple à déterminer la quantité de grillage nécessaire à la clôture d'un terrain, le nombre de briques ou de pierres pour la construction d'un mur, etc.

1) Étude du programme

Niveau d’enseignement :

premier cycle du secondaire, plus précisément en première année.

Contenu précis :

Au 1er cycle du secondaire, les élèves construisent et manipulent des relations ou des formules, notamment dans le calcul du périmètre et de l’aire de figures géométriques. Pour ce faire, ils recourent à des concepts et à des processus arithmétiques et algébriques. Ils s’approprient le concept de figures semblables, recherchent des figures manquantes issues d’une similitude, déterminent des mesures d’arcs et calculent des aires de secteurs et ils mettent à profit, pour ce faire, le concept de proportionnalité. L’étude des droites remarquables, des figures planes et des solides permet aux élèves de dégager des propriétés et des relations entre des grandeurs. Enfin, ils s’initient au raisonnement déductif en recourant à différents énoncés (définitions, propriétés, axiomes, conjectures déjà démontrées) pour justifier les étapes de leurs démarches ou valider des conjectures.

Préalables :

Au primaire, les élèves ont développé leur sens de la mesure en comparant, en estimant et en mesurant diverses grandeurs. Pour ce faire, ils ont utilisé des unités de mesure non conventionnelles et conventionnelles. Ils ont conçu et construit des instruments de mesure et utilisé des instruments de mesure inventés ou conventionnels. Ils ont déterminé des mesures directes ou indirectes. Ils ont également repéré des nombres sur un axe et dans le plan cartésien. Ils ont construit et comparé différents solides, en étudiant plus particulièrement les prismes et les pyramides. Ils ont appris à reconnaître le développement de polyèdres convexes et expérimenté la relation d’Euler. Ils ont décrit le cercle ainsi que des quadrilatères et des triangles qu’ils ont aussi classifiés. Ils ont observé et produit des frises et des dallages à l’aide de réflexions et de translations. Finalement, ils ont estimé et déterminé différentes mesures : longueur, angle, surface, volume, capacité, masse, temps et température.

Prolongement :

Le concept géométrique qui sollicite le concept d’aire permet de créer des situations favorables au calcul des probabilités.

2) Résumé-synthèse de l’analyse conceptuelle

Conception1 :

Les élèves sont portés à croire que, quelle que soit la façon dont on place une corde fermée, l’aire délimitée par cette corde sera toujours la même. En d’autres mots, les figures ayant le même périmètre ont toujours la même aire.

Difficulté1 :

Proposer premièrement deux figures physiquement différentes qui ont la même mesure du contour avec une corde fermée, mais qui ont les mêmes aires. Deuxièmement, proposer deux figures physiquement différentes ayant les mêmes mesures de contour, mais qui n’ont pas les mêmes aires.

Erreur1 :

L’élève conclura que les figures ont les mêmes aires, parce qu’ils ont les mêmes contours.

Raisonnement1 :

Le périmètre d’une figure est la mesure du contour de cette figure. Il peut se calculer à l’aide d’une corde, en l’alignant sur tout le contour de la figure, et en la coupant lorsqu’elle se ferme complètement. Il s’exprime en unité, c’est-à-dire en mm, cm, dm, m,…

L’aire d’une figure est la mesure de la surface de la figure. Il se calcule en comptant le nombre de carrés qui composent la surface de la figure. Elle s’exprime en unité carrée. C’est-à-dire en mm2, cm2, dm2, m2, …

Le premier exercice est proposé sur la base de ce qu’ils ont comme conception. Le fait de proposer deux figures ayant les mêmes mesures de contour et les mêmes aires, vise à diagnostiquer chez l’élève la conception attendue. Le but est de se positionner sur ce qu’ils ont comme conception avant de l’ébranler.

Le deuxième exercice proposé permet d’ébranler la conception diagnostiquée dans le premier exercice, et d’amener l’élève à comprendre qu’elle est fausse.

Conception 2 :

Les élèves pensent que le périmètre et l’aire vont dans le même sens. C’est-à-dire que plus la figure est grande, plus son périmètre et son aire sont grands.

Difficulté 2 :

L’exercice a été choisi avec les figures différentes de façon à favoriser la conception de périmètre et aire plus grands chez l’élève.

Erreur 2 :

L’élève conclura que l’aire et le périmètre de la deuxième figure sont plus grands que ceux de la première figure. Ce qui sera la conception attendue.

Raisonnement 2 :

Le périmètre est le nombre de faces des carré-unités qui s’affichent à l’extérieur. L’aire est le nombre de carré-unités qui forment la figure tant à l’extérieur qu’à l’extérieur.

Nous avons réalisé un programme qui permettra à l’élève de se défaire de certaine conception. Cliquer sur ce lien pour voir le problème proposé, et sur pour voir le fichier scratch qui permet de le solutionner.


sources: