Le XVIIIe siècle - Le siècle des Lumières |
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Le XVIIIe siècle couvre la période de 1701 à 1800. Avant de se lancer dans l’histoire des mathématiques du XVIIIe siècle, je vous propose un petit rappel sur l’histoire. D’abord, le 18e siècle est le Siècle des Lumières. Mais pourquoi en était-il ainsi? On raconte que le terme est employé telle une métaphore en lien avec le mouvement intellectuel, culturel et scientifique de l’époque. Cette dernière étant dénotée par le rationalisme philosophique et l’allégresse des sciences. Le sens imagé des « Lumières » était souvent utilisé par les écrivains et par les penseurs qui croyaient qu’ils venaient d’atteindre un nouvel âge illuminé par la raison, la science et le respect de l'humanité. L'univers mathématiques du début du XVIIIe siècle est dominé par la figure de Leonhard Euler et par ses apports tant sur les fonctions que sur la théorie des nombres, tandis que Joseph-Louis Lagrange éclaire la seconde moitié de ce siècle. Le calcul infinitésimal se développe et s'applique aussi bien aux domaines physiques (mécanique, mécanique céleste, optique, cordes vibrantes) qu'aux domaines géométriques (étude de courbes et de surfaces). Leonhard Euler, dans "Calculi differentialis" (1755) et "Institutiones calculi integralis" (1770), essaie de mettre au point les règles d'utilisation des infiniment petits et développe des méthodes d'intégration et de résolution d'équations différentielles. La fonction devient un objet d'étude à part entière. On s'en sert dans des problèmes d'optimisation. On la développe en séries entières ou asymptotiques (Taylor, Stirling, Euler, Maclaurin, Lagrange), mais sans se préoccuper de leur convergence. Leonhard Euler élabore une classification des fonctions. On tente de les appliquer à des réels négatifs ou à des complexes. Durant ce siècle, les mathématiciens continuent de s'intéresser aux résolutions algébriques des équations.La géométrie analytique se développe et s'étend de l'étude des courbes à celle des surfaces. Euler étudie l'équation générale du second degré à trois variables et présente une classification des solutions. C'est aussi le siècle qui s'attaque aux premiers exemples de ce qui va devenir la théorie des graphes. Euler résout en 1736 le problème des ponts de Königsberg, et, en 1766, énonce le théorème des circuits eulériens : un p-graphe admet un circuit eulérien si et seulement si le nombre de ses sommets de degré impair est 0 ou 2. Au Japon, durant la période Edo (1603 - 1887) se développe une mathématique sans influence de la mathématique occidentale mais inspirée de la mathématique chinoise, travaillant sur des problèmes d'essence géométrique. Des énigmes géométriques sont posées et résolues sur des tablettes en bois appelées Sangaku.
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L'enseignement des maths |
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Le XVIIIe siècle marqua un véritable tournant en matière de théories éducatives. Celles de John Locke inspirèrent à Rousseau une réflexion qui trouva son expression la plus achevée dans l’Émile (1762), qui s’inscrit dans le mouvement de renouveau intellectuel propre au siècle des Lumières. L’innovation fondamentale introduite par Rousseau consiste dans l’affirmation selon laquelle l’éducation doit s’appuyer sur la psychologie de l’enfant. Certes, l’érudition a sa place, mais elle ne doit pas supplanter l’observation de la nature et de la société, à la base d’une véritable pédagogie, qui ouvrit la voie aux travaux de Basedow et Pestalozzi. Outre cet apport fondamental au système d’apprentissage des connaissances, le XVIIIe siècle consacra l’importance des sciences et des techniques qui, depuis l’Antiquité, souffraient du mépris attaché aux arts mécaniques par les Grecs. L’Encyclopédie de Diderot, dont le sous-titre est "Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers", traduit bien cette reconnaissance, alors que certaines inventions annonçaient déjà la révolution industrielle. En France, pendant cette période, des écoles militaires furent créées (École du génie de Mézières, 1748), ainsi que de grandes écoles destinées à former des ingénieurs (École des ponts et chaussées, 1747; École des mines, 1783), qui dispensaient un enseignement à la fois pratique et scientifique, réellement moderne puisque les langues anciennes n’y occupaient plus qu’une place secondaire. Ce modèle inspira la Révolution, pendant laquelle fut créée l’École polytechnique, ainsi que le programme des écoles centrales qui eurent moins de postérité, puisqu’elles furent, dès 1802, supprimées par Bonaparte, alors Premier consul. Les études au XVIIIe siècle en France, étaient, en dehors des écoles militaires, essentiellement organisées dans des collèges. La scolarité complète, qui aboutissait au niveau de la maîtrise ès arts, durait environ six ans, et le parcours décrivait successivement les classes de Grammaire – quelquefois accomplies dans des écoles avant le collège -, Humanités, Rhétorique I et II, Philosophie I et II. Après l’obtention de ce diplôme ou de son équivalence, les étudiants pouvaient poursuivre leurs études dans trois facultés, celles de Droit, de Théologie ou de Médecine, qui attribuaient le titre de Bachelier ou Licencié dans leurs différentes spécialités. Dans toutes ces étapes, y compris les facultés de Droit, Médecine et Théologie, le seul moment où l’on étudiait les mathématiques, était la dernière année de collège, classe de Philosophie, qui était aussi appelée classe de Physique. Cette étude comprenait surtout la géométrie élémentaire et un peu d’arithmétique et d’algèbre. Aucune place n’était accordée aux mathématiques « mixtes », c’est-à-dire appliquées, les collèges les considérant comme des études professionnelles dont ils n’avaient pas à s’occuper. Dans les écoles militaires – du Génie, de l’Artillerie et de la Marine –, les mathématiques aussi bien « pures » que « mixtes » étaient enseignées pendant trois ans, à raison d’environ trois heures par jour. Cet enseignement touchait cependant très peu d’élèves, puisqu’une promotion des écoles militaires, tous corps confondus, comptait environ six cents jeunes hommes. Les collèges jésuites continuent à accorder peu d’importance aux mathématiques, et le « Quadrivium » (géométrie, musique, astronomie, arithmétique) est bien souvent, faute de personnel compétent, sacrifié à la Théologie. La programme pour l'enseigement des mathématiques au Seminaire de Québec:
Thèse de 1790
À partir du milieu du XVIIIe siècle et bien que les mathématiques n’aient toujours qu’une faible part du temps d’enseignement pour la majorité des élèves, les préfaces des manuels de cours ne sont plus consacrées à la justification de l’enseignement des mathématiques mais à la façon d’enseigner celles-ci. |
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Alexis-Claude Clairaut (1713 – 1765) |
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La formation qu’il avait reçue de son père, maître de mathématiques, et sa propre façon d’aborder les problèmes dans sa recherche, le conduisent à écrire deux livres d’enseignement : en 1741, Élémens de Géométrie et en 1746, Élémens d’Algèbre. Il est le premier à ne pas justifier l’enseignement des mathématiques mais aussi le premier à parler pédagogie. La façon de présenter les mathématiques et surtout la géométrie suivait la méthode dite « synthétique » qui consistait à énoncer d’abord les définitions, axiomes, demandes, théorèmes, etc. puis à traiter les exercices en faisant appel à ces connaissances préalables. Clairaut, lui, est un tenant de la méthode dite « analytique » qui consiste à analyser un problème donné et, partant de là, à retrouver les définitions, axiomes, etc. dont on a besoin pour sa solution. Sa pédagogie consiste à faire suivre la route qu’a dû suivre le découvreur : « J’ai pensé que cette science devait s’être formée par degrés ; que c’était vraisemblablement quelque besoin qui avoit fait faire les premiers pas et que ces premiers pas ne pouvoient être hors de la portée des Commençans, puisque c’était des commençans qui les avoient faits. J’ai tâché d’en développer les principes par une méthode assez naturelle, pour être supposée la même que celle des premiers inventeurs, observant seulement d’éviter toutes les fausses tentatives qu’ils ont nécessairement du faire. » (Élémens de Géométrie) |
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Quelques mathématiciens célèbres |
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Brook Taylor (1685 - 1731)C'est un des fondateurs du calcul des différences finies, qu'il utilise dans l'interpolation et la sommation des séries. Il aborda la détermination des solutions singulières des équations différentielles, le problème du changement de variable, la détermination des centres d'oscillation, de percussion et de courbure, et le problème des cordes vibrantes. Son nom est resté attaché à un développement d'une fonction en série, faisant intervenir les dérivées successives de la fonction.
Jean le Rond D'Alembert (1717 - 1783)Il est célèbre pour avoir dirigé l’Encyclopédie avec Denis Diderot jusqu’en 1757 et pour ses recherches en mathématiques sur les équations différentielles et les dérivées partielles. Ses recherches de physique mathématique l’amenèrent à étudier les équations différentielles et les dérivées partielles, ainsi que diverses notions d’analyse mathématique. Il donna aussi le premier énoncé du théorème fondamental de l’algèbre. Gaspard Monge (1746 - 1818)Il était un mathématicien français dont l'œuvre considérable mêle géométrie descriptive, analyse infinitésimale et géométrie analytique. Il fut précurseur de la géométrie différentielle (infinitésimale) et du calcul intégral avec la méthode des indivisibles. Il a créé un traité de géométrie descriptive ou il a donné une technique de représentation de l’espace dans le plan. Il a été fondateur de l’École polytechnique et l’École normale de Paris. En parallèle à ses travaux de recherche, il enseigne une grande partie de sa vie. Il a eu comme élèves beaucoup des futurs grands mathématiciens français du XIXe siècle. Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813)Il était un mathématicien, mécanicien et astronome italien. Fondateur du calcul des variations avec Euler et de la théorie des formes quadratiques, il démontre le théorème de Wilson sur les nombres premiers et la conjecture de Bachet sur la décomposition d’un entier en quatre carrés. On lui doit un cas particulier du théorème auquel on donnera son nom en théorie des groupes, un autre sur les fractions continues, l’équation différentielle de Lagrange. Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet (1743 - 1794)Il était un philosophe, mathématicien et homme politique français. Son Il est célèbre pour ses travaux pionniers sur la statistique et les probabilités, son analyse des différents modes de scrutin possibles et le « paradoxe de Condorcet » |
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Leonhard Euler (1707 - 1783) |
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Né à Bâle le 15 avril 1707, Leonhard Euler étudia les mathématiques sur les conseils de Johann Bernoulli, qui était ami avec son père. Son oeuvre est considérable. Euler intervint dans les trois domaines fondamentaux de la science de son époque : l'astronomie (orbites planétaires, trajectoires des comètes), les sciences physiques (champs magnétiques, hydrodynamique, optique, nature ondulatoire de la lumière,...), les mathématiques, où il met au premier plan le concept de fonction. Euler fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes. On lui doit aussi la très jolie relation entre les nombres de sommets, d'arêtes et de faces d'un polyèdre convexe (ex : le cube, le tétraèdre,...) : F + S - A = 2 Dans son traité « Introductio in Analysin infinitorum », publié en 1748, Euler effectue une synthèse considérable des connaissances liées aux fonctions trigonométriques, logarithmes et exponentielles . Euler établit une formule liant 0, 1, π, e, et i : eiπ + 1 = 0 nommé l’identité d’Euler ou la formule d’Euler. Certains scientifiques l’ont appelé la « formule la plus remarquable du monde ». |
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Sources: http://i.telegraph.co.uk/multimedia/archive/01843/hi-james-watt-0803_1843037c.jpg https://lemundemfinue2013.wordpress.com/2013/11/30/le-siecle-des-lumieres-une-avancee-moderne/ https://fr.wikipedia.org/wiki/Histoire_des_math%C3%A9matiques#Le_XVIIIe.C2.A0si.C3.A8cle http://germanhistorydocs.ghi-dc.org/images/12290-p.jpg http://www.cfa.fr/textes_apprentissage/enseignement.htm http://images.math.cnrs.fr/Les-mathematiques-au-XVIIIe-siecle.html https://fr.wikipedia.org/wiki/Jean_le_Rond_D'Alembert https://fr.wikipedia.org/wiki/Gaspard_Monge https://fr.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange https://fr.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler#Contributions_aux_math.C3.A9matiques http://mathshistoire.blogspot.ca/search/label/XVIII%20e%20si%C3%A8cle |
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