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Les démonstrations

Plusieurs démonstrations existent pour prouver le théorème de Pythagore. Ces preuves et démonstrations peuvent prendre plusieurs formes; une preuve géométrique appuyée par l'algèbre par exemple:


Par l'algèbre

démonstration


Cette démonstration illustre bien la relation de base, soit: c²=a²+b² et de façon assez impressionnante d'ailleurs. c² représente l'aire du carré formé à partir du côté le plus long du triangle rectangle, l'hypoténuse tandis que a² et b² représentent, de la même façon, l'aire des deux autres carrés formés à partir des cathètes. Pour ces aires on ignore l'épaisseur pour ne pas parler de volume, puisque l'épaisseur est la même sur tout le module. L'eau remplit les carrés attachés aux cathètes et se déverse dans le grand carré attaché à l'hypoténuse. Et voilà! La compréhension est ancrée dans l'esprit de l'élève, garanti!


Par soustraction d'aires

démonstration

Ici, on a un triangle rectangle qu'on duplique pour en avoir 4 identiques et que l'on dispose de façon à obtenir un carré de côté a+b. L'aire de ce grand carré sera donc: (a+b)². Or, si on cherche à obtenir l'aire des parties respectives, on peut trouver une deuxième façon d'écrire l'aire. Chacun des rectangles, que l'on retrouve 4 fois, ont une aire de (a×b)/2 et le carré noir au centre a pour aire la mesure de l'hypoténuse au carré, c². Donc, les deux aires étant équivalentes, on peut établir l'égalité suivante : (a+b)²=4(ab/2)+c² ce qui se développe en: a²+2ab+b²=2ab+c² que l'on réduit en: a²+b²=c². Tadam!

Par la manipulation

Dans ce cas-ci, on permet par la manipulation de comprendre la relation de Pythagore, mais c'est plus subtil que la plupart des démonstrations. En déplaçant d'abord les deux petits carrés puis ensuite les trois triangles dans le grand carré (celui en bleu), on voit que les aires des deux carrés complètent, en les additionnant, l'aire du grand carré. Les triangles servent à combler les parties des petits carrés qui sont à l'extérieur du grand. C'est une autre démonstration par les aires, cependant plus dynamique et interactive.