Analyse conceptuelle

La factorisation est l'opération inverse du développement. Les élèves auront tendance à factoriser machinalement, sans trop comprendre ce qu'ils font en réalité. Il est donc important pour les enseignants de présenter les méthodes de factorisation dans leur contexte, en même temps que l'apprentissage des fonctions.

Avant toutes choses, il est important de savoir que la complétion de carré n'est pas un cas de factorisation, mais plutôt une étape de construction d'un trinôme carré parfait à partir d'un trinôme qui n'est pas carré parfait. De ce fait, cette notion est trop souvent présentée hors de son contexte, les fonctions. Une des notions préalables est celle de la mise en évidence simple. Elle est utilisée dans le cas où il faut tente de retrouver la forme x2+bx+c lorsque nous avons plutôt une expression sous la forme ax2+bx+c, il faut alors faire une mise en évidence simple. Cette dernière est l'application de la propriété de distributivité dans le but d'obtenir des facteurs. Lorsque l'on effectue une mise en évidence, le but est de ramener à 1 le coefficient du terme de degré le plus élevé. Cependant, une des erreurs fréquentes lors d'une mise en évidence est de ne pas diviser chacun des termes par le coefficient du terme de degré le plus élevé.

Ex: ax2+bx+c = a(x2+bx+c)

Mais plutôt: ax2+bx+c = a(x2+(b/a)x+(c/a)).

Une autre notion préalable est le trinôme carré parfait. Les élèves auront déjà appris à développer le carré d'un binôme en trinôme carré parfait, ainsi que de ramener un trinôme carré parfait en un carré d'un binôme.

Une erreur commune liée à l'apprentissage du trinôme carré parfait est de développer (a+b)2 = a2+b2.

Dans ce cas-ci, l'élève ne voit pas que ce développement doit donner un trinôme carré parfait. Cette erreur est suffisamment commune au secondaire pour l'appeler conception, au sens où l'élève ne fait pas intervenir les propriétés des exposants dans son raisonnement. Les mêmes raisonnements et explications sont présents pour (a-b)2 = a2-b2.

Lorsque l'on crée une représentation visuelle d'un trinôme carré parfait, une des habiletés à acquérir est de ne pas oublier de retirer la constante que l'on a ajoutée pour créer le carré parfait.

Ex: x2+8x+42 est un carré parfait.

L'expression de départ est x2+8x+3. Donc, par construction, on a obtenu le carré qui représente le carré parfait x2+8x+42. Cette expression représente l'aire de la figure de droite. Ensuite, il faut penser à ne pas perdre le +3 de départ, et pour que les équations restent équivalentes, il faut retrancher 42, qui représente l'aire du carré 4 par 4 que nous avons dû ajouter afin de retrouver un carré parfait.

Les élèves pourraient aussi oublier de diviser le deuxième terme (8x) par deux pour obtenir 2 fois 4x. Certains auraient tendance à rallonger le carré x par x de 9 de chaque côté, ce qui n'est pas exact, car il se retrouve avec une aire de x2+16x+64.

L'élève doit comprendre que le terme constant n'a pas d'influence sur la complétion du carré, il ne faut toutefois pas oublier de le garder afin que l'équation reste équivalente.

Des erreurs peuvent survenir lorsque, après leur avoir enseigné la complétion de carré d'un trinôme ayant son deuxième terme positif, il faut introduire la possibilité qu'il soit négatif. Les élèves pourraient simplement oublier d'en tenir compte, ils pourraient penser que, comme l'expression comprend (x-h)2, alors le deuxième terme étant négatif, cela nous donnerait (x+h)2.

Comme les élèves connaissaient déjà la forme canonique de la fonction de second degré, il est intéressant pour l'enseignant de présenter cette notion à l'aide de ce type de fonction, de leur faire comprendre l'utilité de la complétion de carré. Les élèves pourront comprendre que le carré d'un binôme est nécessaire à la forme canonique et que cette forme est beaucoup plus utile que la forme générale.


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