LOSANGE

Tout d'abord, rappelons-nous de certaines caractéristiques du losange.
Ce quadrilatère possède 4 côtés congrus et ses diagonales se coupent perpendiculairement et en leur milieu.

On a le losange AEBD. Ses côtés sont les segments AE, EB, BD et DA.


Deux triangles forment le losange AEBD : le triangle AEB et le triangle ADB.
Le côtés du triangle AEB sont formés par les segments AE, EB et BA.
Tandis que, les côtés du triangle ADB sont formés par les segments AD, DB et BA.


Premièrement, les mesures des segments AE, EB, AD et DB sont égales car les côtés d'un losange sont isométriques, par définition du losange.
Deuxièmement, le segment AB qui est le côté commun aux deux triangles est isométrique à lui-même.
Si deux triangles peuvent être mis en correspondance de façon à ce que les côtés homologues soient isométriques alors les deux triangles sont isométriques (c'est-à-dire que les angles homologues sont aussi isométriques) .

On conclut, donc, que les triangles AEB et ADB sont isométriques. Étant donné que deux triangles isométriques ont la même mesure d'aires. On peut dire que ces deux triangles sont iso-aires.

On fait subir au triangle AEB une rotation de 180º centrée en F.
 Ceci permet de voir que les triangles AEB et ADB sont bel et bien iso-aire lorsque les côtés des deux triangles se superposeront parfaitement.

Voyons, comment et pourquoi cela se produit.

Nous savons qu'une rotation est une isométrie du plan. Ceci signifie que toutes les mesures sont conservées entre la figure initiale et la figure image. Nous entendons par mesures, les mesures des côtés ainsi que les mesures d'angles.

Voici ce qui se passe:

.

Conséquemment,

 et ceci implique que 

Et, tel que mentionné plus haut, des triangles isométriques sont isoaires.

Voyons, maintenant, comment calculer l'aire du losange AEBD.

En effet, 



On conclut que l'aire du losange est obtenue par le demi produit des diagonales du losange.