Aire parrallélograme


On obtient l'aire d'un parallélogramme en faisant une décomposition en d'autres figures dont on sait comment calculer l'aire. Ainsi, on fait subit des transformations au parallélogramme pour obtenir un rectangle.

 Comme définition, un parallélogramme est un quadrilatère ayant deux paires de côtés parallèles. Cette figure plane posséde une litanie de propriétés.

30. Théorème des propriétés nécessaires d'un parallélogramme :
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors on aurait :

a- les angles opposés sont isométriques ;
b- les angles consécutifs sont supplémentaires ;
c- les côtés opposés sont isométriques ;
d- les dagonales se coupent en leur milieu ;
e- les côtés opposés sont paralléles.

Les propriétés qui sont utiles pour la manipulation algébrique sont les suivantes :


Premièrement, le parallélogramme MPQI a deux paires de côtés paralléles. Ainsi MP // IQ et IM // QP

Deuxièmement, le quadrilatère MPQI a ses côtés opposés isométriques. Donc IM ≅ QP et MP ≅ IQ


Troisièmement, les ongles opposés sont isométriques ; m ∠ MIQ = m ∠ MPQ et m ∠ IMP = m ∠ PQI

 les angles consécutifs sont supplémentaires. On va procéder ainsi afin d'obtenir un rectangle à partir du parallélogramme.

Tout d'abord, on fait une projection orhogonale du point M sur le segment IQ, donc il appartient au segment IQ. Cette projection orthogonale permet d'obtenir le triangle rectangle MIL.



On a un angle droit, il faut maintenant construire les trois autres angles droits pour obtenir un rectangle.

Au fait, on peut dire que le segment ML ⊥ LQ.IL existe un théorème en géométrie qui dit :

" Si deux droites sont parallèles , alors, toute droite perpendiculaire à l'une des paralléles est perpendiculaire à l'autre . "
(Théorème 39 ou 41- selon la version-, MAT1030 Géométrie 1-Liste 2, Michel Warrisse et Louis Chatbonneau)

Or, LQ // MP car L ∈ IQ, et IQ // MP

De plus, ML ⊥ LQ. Donc par le théorme 39, on conclue que ML ⊥ MP. Par conséquent, m ∠ PML = 90

On obtient, ainsi, ce résultat :


On a deux angles droits des quatre angles droits pour constuire notre rectangle. On procède par translation pour former les deux autres angles droits.  Étant donné qu'une translation est une isométrie du plan. Celle-ci signifie que toutes

 les mesures sont conservées.  Ainsi, les mesures des angles et des côtés restent les mêmes après la translation. Par conséquent, aprés la translation on obtient aussi un triangle rectangle en L.

On fait subit une translation au triangle IML de longueur IQ. On obtient le quadrilatère MPRL qui est un rectangle.