LES POLYGONES RÉGULIERS

On désigne par polygones réguliers, des polygones ayant leurs côtés isométriques et des angles isométriques. Ces polygones sont insciptibles dans un cercle.

Le polygône régulier minimal que l'on peut construire est le triangle équilatérale, puis il y a le carré et ainsi de suite.

Notre animation GeoGebra s'étende jusqu'au dodécagone. Cependant, on calculera de la même façon l'aire d'un polygône régulier ayant une trentaine, centaine de côtés, ect. Lorsque le nombre de

 côtés du polygône régulier tend vers l'infini, le polygône régulier tend vers un cercle.

Observons, maintenant, certains polygônes réguliers.





Dans le triangle équilatérale, carré, heptagone et hendécagone ci-dessus, on a tracé des rayons.

On sait que dans un cercle, tous les rayons sont isométriques entre eux. Ainsi, tous les segments reliant le centre
 
du cercle (ou polygône) au cercle sont isométriques.


Or, les triangles formés, à l'intérieur du polygône, par ces rayons sont isocèles car deux de leurs côtés sont les rayons du cercle.

De plus, le troisième côté de ces triangles est le côté du polygône lui-même. On peut dire que tous les troisièmes côtés des triangles sont, au fait, les côtées du polyône régulier qui est inscrit dans le cercle.


Par conséquent, ces troisièmes côtés sont tous isométriques, vu que le polygône est régulier.

Enfin, on peut affirmer que les triangles construits à l'intérieur des polygônes réguliers sont isométriques car leurs côtés homologues sont isométriques.


Essayons, maintenant, de trouver l'aire du polygône régulier.

Au fait, son aire est obtenu par la somme des aires des triangles isocèles construits à l'intérieur de celui-ci.

Nous avons mis en évidence le triangle AMB pour comparer les polygônes réguliers entre eux. Ces polygône sont tous centrés en M. La hauteur du triangle AMB intercepte le côté AB du polygône au

 point P. On appelle le segment MP l'apothème du polygône.

Dans un polygône régulier, Il y a autant de triangles isocèles que le nombre de côtés du polygône.