Trapèze


On a un trapèze quelconque BACF.
Par quelconque, on entend que ce trapèze n'a pas de caractéristiques particulières. Bref, il est scalène.

Dans un trapèze, on a une paire de côtés parallèles.

Ainsi, dans celui-ci, le segment BA est parallèle au segment FC
Enfin, le segment BA est la petite base et le segment FC est la grande base du trapèze BACF.                              

On construit le point E soit le milieu du segment BF et le point G' soit le milieu du segment AC.
On trace le segment EG'. Ce segment est parallèle au segment BA et CF. Notre trapèze initiale BACF contient
maintenant deux trapèze. Le trapèze BAG'E et le trapèze EG'CF.


Pour obtenir l'aire du trapèze initiale BACF, nous allons construire une figure dont on connait déjà le calcul de son aire.


En fait, on va construire un parallélogramme.

Nous allons y parvenir à l'aide d'une isométrie du plan : la rotation.

Tout d'abord, on fait subir une rotation de 180° centré en G' au trapèze BAG'E.


Le quadrilatère obtenu est le parallélogramme EE'K'F possédant deux paires de côtés paralléles. C'est-à-dire que le segment EE' est parallèle au segment FK' et le segment EF est parallèle au segment E'K'.


On sait que la formule d'aire d'un parallélograme est donnée par base * hauteur .

Le segment FK' qui est paralléle au segment EE' est composé de deux segments soit le segment FC et le segment CK'. Or, le segment FC est la grande base du trapèze initiale BACF  et le segment 
CK' est la mesure de la petite base du trapèze initial BACF. Ainsi, le côté FK' du parallélogramme EE'K'F a comme mesure la somme de la mesure de la grande base et la petite base du trapèze initial.

Quant à la hauteur du parallélogramme EE'K'F , elle mesure la moitié de la hauteur du trapèze BACF.



Nous savons que le parallélogramme EE'K'F est isoaire au trapèze BACF, car la rotation est une isométrie du plan. Ainsi, toutes les mesures (segments, angles et aires ) sont conservées.

On peut donc affirmer que :