LE TRIANGLE


On a, le triangle BAC. Ce triangle est obtus et scalène.

Par la suite, on a le point F qui est le milieu du segment BA et le point R le milieu du segment AC.

On choisit un point D appartenant au segment CB. Ce point D n'est pas nécessairement le milieu de CB ni la projection orthogonale du point A sur le segment CB. Ainsi, l'angle DAC mesure moins de 90 degrés.


On trace le segment AD de tel sorte que ce segment ne soit pas la hauteur (issue du sommet A) du triangle BAC, la bissectrice de l'angle BAC ou la médiane (issue du sommet A) du segment CB.

On construit deux nouveaux triangles: le triangle BAD et le triangle DAC. Par conséquent, l'aire du triangle BAC est la somme des aires des triangles BAD et DAC.

Pour trouver l'aire du triangle BAC, on se réfère à une figure géométrique déjà étudiée soit le parallélogramme.

Notez que si l'angle ADC mesurerait 90 degrés, on aurait un rectangle et non un parallélogramme.


On utilise la rotation pour obtenir le parallélogramme.

Premièrement: Effectuons une rotation au triangle BAD de 180 degrés centrée en F.

Voici ce qu'on obtient:


  



Par conséquent, le triangle BEA est isométrique au triangle BAD car la rotation garde les mesures.


Deuxièmement: Effectuons une rotation de 180 d
egrés, centrée en R au triangle DAC.

Voici ce qu'on obtient:









Par conséquent, le triangle AD'C est isométrique au triangle DAC car la rotation garde les mesures.

Notons que l'aire du parallélogramme ED'CB est la somme des aires de quatre triangles : BEA, BAD, DAC et AD'C.

Or, le triangle BEA est isoaire au triangle BAD et le triangle AD'C est isoaire au triangle DAC. Ceci est dû au fait que, des triangles isométriques sont isoaires entre eux. Ceci implique que l'aire du

parallélogramme est le double de celui du triangle. Autrement dit, l'aire du triangle vaut la moitié de l'aire du parallélogramme ayant comme mesure de base et de hauteur les mêmes que ceux du triangle.

Voici, donc, le calcul algébrique :