La fonction racine carrée

 

L’opération racine carrée

 

Rappelons-nous d’abord que la racine carrée d’un nombre x permet d’obtenir le nombre y qui, multiplié par lui-même, donne x comme produits. Ainsi, dire que , c’est dire que. Par exemple, nous savons que . Donc, à l’inverse, nous aurons . La racine carrée est ainsi définie comme étant l’opération inverse d’élevé au carré.

 

En terme géométrique, élevé au carré, c’est-à-dire multiplier un nombre par lui-même, revient à calculer l’aire d’un carré ayant ce nombre comme mesure de côté. Extraire la racine carrée permet donc de retrouver la mesure d’un côté à partir de son aire.  Par exemple, si un carré a une aire de, ses côtés doivent mesurer.

 

 

Nous pouvons donc comprendre qu’il est impossible, dans les réels, d’extraire la racine carrée d’un nombre négatif. D’abord, un nombre est soit positif, soit négatif. Si nous multiplions un nombre par lui-même, il y a deux possibilités : soit le nombre est positif, dans quel cas le produit sera positif; soit le nombre est négatif, dans quel cas le produit sera également positif, puisque le produit de deux nombres négatif est positif. Géométriquement, l’aire d’un carré est nécessairement positive. Nous ne pouvons donc pas chercher la mesure du côté d’un carré dont l’aire serait négative, puisqu’un tel carré n’existe pas.



La table de valeur

 

De manière générale, les images de la fonction racine carrée de base correspondent à la racine de la valeur de la variable indépendante x. Nous avons donc la table de valeur suivante :

 

x

0

0

1

1

4

2

9

3

16

4

25

5

 

Notons que le domaine de la fonction racine carrée de base est limité au nombre positif des réels : il est en effet impossible, dans les réels, d’extraire la racine carrée d’un nombre négatif. La fonction de base n’est donc pas définie, dans les réels, lorsque la variable indépendante est négative.

 

La fonction en tant que réciproque

 

La fonction racine carrée est souvent définie comme étant la fonction réciproque de la fonction quadratique, ce qui logique étant donné que la racine carrée est l’opération inverse d’élevé au carré un nombre. Souvenons-nous qu’une fonction réciproque est obtenue en inversant le lien de dépendance : la variable indépendante, sur l’axe des abscisses, devient la variable dépendante, sur l’axe des ordonnées; et vice-versa.

 

Nous pouvons donc obtenir le graphique de la réciproque d’une fonction en effectuant une symétrie de chacun des points de la fonction de départ par rapport à la droite y=x. Plus spécifiquement, nous pouvons obtenir le graphique de la fonction racine carrée de base en effectuant une symétrie de la fonction quadratique de base.


Instruction

Déplacez le point A tout le long du tracé du graphique de la fonction quadratique de base  pour construire le graphique de la fonction racine carrée de base.


This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com


Comme nous le voyons, la réciproque de la fonction quadratique n’est pas une fonction, car deux branches sont obtenues de cette manière : l’une avec des images positives, l’autre avec des images négatives. Nous savons toutefois que la racine carrée d’un nombre doit être positive. Nous prendrons donc seulement la branche supérieure comme graphique de la fonction de base.