La fonction rationnelle

 

Division de fonctions

 

La fonction rationnelle est obtenue par la division de deux fonctions linéaires (). Nous pouvons donc écrire une fonction rationnelle sous la forme suivante .

 

Pour obtenir les images de la fonction rationnelle, on divise alors l’image de la fonction f(x) par l’image de la fonction h(x).

 

Par exemple, si nous prenons les deux fonctions linéaires suivantes : et . En divisant g(x) par h(x), nous obtiendrons la fonction rationnelle suivante.  Nous obtenons les images de la fonction f(x) en divisant les images de la fonction g(x) par celle de la fonction h(x), comme le démontre la table de valeur ci-dessous :

 

x

-1

-4

-7

0

2

-4

1

8

-1

2

14

2

3

20

5

 


 

Nous aurions alors le graphique suivant :

 

 

Le graphique de la fonction de base

 

La fonction rationnelle de base représente donc le quotient des deux fonctions linéaires g(x) = 1 et h(x) = x. Pour obtenir les images de cette fonction, il faudra alors diviser 1 par la valeur de la variable indépendante.



Instruction

Modifiez la valeur de la variable indépendante x à l’aide du curseur pour construire le graphique de la fonction rationnelle de base. Remarquez comment on obtient la valeur de l’image lorsque la variable indépendance est négative.


C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com





Deux points sont importants à remarquer dans la construction que nous venons de faire :

 

1.      Présence de deux asymptotes

 

·         L’asymptote x=0

 

Comme l’image de la fonction h(x) = x est nulle lorsque la variable indépendante vaut 0, la fonction rationnelle ne peut pas avoir d’image à ce moment. En effet, la division par 0 est impossible.

 

·        L’asymptote y=o

 

Dans la division 1 / x, le quotient devient de plus en plus petit lorsque la valeur de la variable indépendante augmente. Toutefois, il est impossible que le résultat de cette division soit 0. Les images de la fonction rationnelle s’approchent donc de plus en plus de la droite y=0 sans jamais y toucher.

 

2.      Il y a deux branches distinctes dans la fonction rationnelle de base : la première dans le 1er quadrant, et la deuxième dans le 3e quadrant.

 

·        La fonction est positive lorsque la variable indépendante est positive

 

Par la loi des signes, diviser un nombre positif (soit 1) par un nombre positif donne un quotient positif.

 

·        La fonction est négative lorsque la variable indépendante est négative

 

Par la loi des signes, diviser un nombre positif (soit 1) par un nombre négatif donne un quotient négatif.





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