• Accueil
• activité
• Autre approche possible

Voici une boule rayon 1 unité.

Nous ne connaissons pas son volume. Notons-le . 

    Effectuons une dilatation de facteur sur ses dimensions. 

Nous obtenons une boule de rayon  unités, donc de rayon unités.

Le volume de la boule change d'un facteur , car nous sommes en trois dimensions.

Nous obtenons une boule de volume unités cubes.

    Remarquons que le volume de la boule de rayon 1 que nous avons noté est une constante. Par conséquent, si nous connaissions cette constante, nous pourrions généraliser en raisonnant par dilatation de facteur  pour connaître le volume de n'importe quelle boule de rayon . Partons donc, plus particulièrement à la découverte du volume d'une boule de rayon 1 qui est notre constante . 

    Dans le but de simplifier notre tâche, partionnons cette boule en deux demies boules de même volume. Voici un film illustrant cette subdivision:

  

Nous obtenons deux demies boules de rayon 1.

    Déterminons le volume d'une seule de ces deux  demies boules. Le volume d'une boule entière de rayon 1 nous sera donné en multipliant par 2 le volume de la demie boule trouvé. Nous ne savons pas plus trouver le volume d'une demie boule, mais nous pouvons toutefois y parvenir en se ramenant à des solides que nous connaissons. Un des solides dont nous savons déterminer le volume qui pourra nous être utile est le cylindre. 

    Pour ce faire, nous pouvons partionner notre demie boule de rayon 1 en  cylindres différents. Voici un exemple avec  , donc avec 6 cylindres. 

    Bien sûr, plus  est grand,  plus la somme des volumes des cylindres ainsi construits s'approchera du volume de la demie boule. Plus particulièrement, pour un  infiniment grand, nous aurons que la somme des volumes des cylindres sera égale au volume de la demie boule puisque  les cylindres occuperont tout l'espace disponible à l'intérieur de la demie boule. Le film qui suit illustre la situation:

Par construction, les cylindres ont tous la même hauteur, soit  .

Cependant, les cylindres n'ont pas tous le même rayon. 

    Par contre, sachant le théorème de la relation de Pythagore applicable dans tout triangle rectangle, nous sommes en mesure de déterminer les valeurs respectives de chacun de ces rayons.

Déterminons le carré du rayon du premier cylindre (en partant du bas) de cette façon. 

          

Déterminons le carré du rayon du deuxième cylindre. 

        

Déterminons le carré du rayon de l'avant dernier cylindre.

Déterminons le carré du rayon du dernier cylindre.

       

Bref, il est possible de déterminer la mesure des rayons des bases de chacun de ces cylindres. Par conséquent, connaissant la formule du volume d'un cylindre, nous sommes en mesure de calculer le volume respectif de chacun de ces cylindres. 

    Rappelons-nous que pour un  infiniment grand, nous aurons que la somme des volumes des  cylindres sera égale au volume de la demie boule. Trouvons le volume de la demie boule de rayon 1 de cette façon. Nous avons: 

       

Effectuons une mise en évidence simple du facteur  et du facteur . Nous obtenons: 

Remplaçons le carré des rayons de chacun des n cylindres par leur valeur respective. Nous obtenons: 

       

    Remarquons qu'à l'intérieur des crochets, pour chaque terme de la somme des volumes des cylindres, nous avons plus 1 moins une expression, plus 1 moins une autre expression et ainsi de suite. 

    

    Nous avons une addition répétée de 1  fois. Remplaçons cette somme de 1 par son résultat qui est . De plus, effectuons une mise en évidence simple du facteur -1.

Alors, simplifions notre expression davantage. Nous obtenons:

Distribuons notre facteur sur la différence obtenue. Nous obtenons:

Simplifions. Nous obtenons:

Distribuons notre facteur  sur la somme. Nous obtenons:

    Maintenant, nous devons réfléchir sur ce que vaut l'expression ci-dessous en se ramenant à des notions que nous connaissons. 

 

    Pour commencer, considérons le premier terme de cette somme. Cette expression représente le volume d'un prisme dont la base est un carré de côté et la hauteur est  .

                        

Considérons le deuxième terme de cette somme. Cette expression représente le volume d'un prisme dont la base est un carré de côté  et la hauteur est .

                                     

Déterminons ce que représente l'avant dernier terme de cette somme. Cette expression représente le volume d'un prisme dont la base est un carré de côté et la hauteur est .

                               

Déterminons ce que représente le dernier terme de cette somme. Cette expression représente le volume d'un prisme dont la base est un carré de côté  et la hauteur est .

                                          

    Par conséquent, l'expression mentionnée précédemment correspond à la somme des volumes des n prismes à base carrée différents.

Ces prismes ont tous la même hauteur, soit . 

Par contre, ces prismes n'ont pas tous la même aire de base: 

Le premier c'est ,

le deuxième c'est  

                 ... 

Et le dernier c'est .

    Bref, l'aire de la base d'un prisme au suivant augmente tranquillement jusqu'à ce que nous considérons l'aire de la base du dernier qui vaut un unité carré. Voici une illustration de cette expression correspondant à la somme des volumes de ces  prismes. Cela ressemble à un escalier.

    Remarquons que plus  est grand, plus la représentation de cette somme aura l'allure d'une pyramide. Plus particulièrement, pour un infiniment grand, nous avons que le volume de cet escalier sera égale au volume d'une pyramide dont l'aire de la base est donc d'un unité carré et la hauteur est donc d'un unité. Voici un film illustrant la situation:

Sachant la formule du volume de la pyramide, nous sommes en mesure de trouver la valeur de la somme des volumes des  prismes. Soit le tiers d'un unité cube.

Par conséquent, la valeur cherchée de l'expression          est         .

Remplaçons cette expression par sa valeur dans notre expression représentant le volume de la demie boule de rayon 1. Nous obtenons: 

Simplifions. Nous obtenons:

    Rappelons-nous que le volume d'une boule entière de rayon 1 vaut le double du volume d'une demie boule de même rayon. Nous obtenons:

  

 

    Nous connaissons maintenant notre consatnte , soit le volume d'une boule de rayon 1.  Finalement, puisque le volume d'une boule de rayon  est donnée par en raisonnant par dilatation d'un facteur . Nous obtenons: 

Vous avez des commentaires et/ou des suggestions. S'il-vous-plait, écrivez-moi à l'adresse suivante: blanchette.mireille@courrier.uqam.ca