Géométrie des transformations
-
Au-delà de la géométrie euclidienne
(déductive et synthétique)
(inspiré de Amy Dahan-Dalmedico, Jeanne Peiffer, Histoire
des mathématiques, Routes et dédales, Paris :
Éditions du Seuil (coll. Points, S49, 1986, chap. 4)
- Euclide : la seule transformation
explicite est le déplacement des figures utilisées
dans ses démonstrations.
- La perspective et après...
- Brunelleschi (1377-1446), le
premier
à avoir expliciter les règles de la perspective.
- Dürer en 1525 et Piero della
Francesca en 1470 précisent ces règles mais
toujours sans fondement mathématiques clairs.
- Leone B. Alberti, en 1511, cherche
à répondre à la question : « Quelles sont les
propriétés géométriques communes à deux
perspectives d'une même figure.
- La cartographie amène à
s'intéresser aux projections de la sphère dans un
plan. En particulier, on remarque que de telles
projections ne peuvent conserver les angles. On se
rabat sur la conservation des longueurs. Après
1600, essor de l'étude des projections. La
publication de plusieurs éditions des Sections
coniques d'Apollonius donne de nouveaux
outils mathématiques. Kepler, dans son Astronomia
Nova (1609), utilise ces connaissances pour
ses calculs débouchant sur sa première loi du
mouvement des planètes, à savoir que les planètes
ont une orbite elliptique.
- Girard Desargues (1591-1661)Brouillon
projet d,une atteinte aux événements des
rencontres d'un cône avec un plan (1639)
(50 copies seulement furent imprimés)
- Les coniques sont vues comme
des projections d'un cercle dans un plan.
- Théorème de Desargues : Si
deux triangles, situés dans l'espace ou dans
un même plan, ont leurs sommets placés deux à
deux sur trois droites concourant en un même
point, leurs côtés se rencontrent, deux à
deux, en trois points situés en ligne droite,
et réciproquement.
- Certaines des propriétés du
cercle sont transférés aux coniques par le
fait que la projection n'altère pas ces
propriétés.
- Notion d'invariant. Quelles
sont les propriétés qui sont invariantes par
projection ?
- Blaise Pascal (1623-1662) Essai
sur les coniques (1640)
Si ABCDEF est un hexagone inscrit
dans une conique, alors, les points de rencontre
des trois couples de côtés opposés AB et DE, BC et
EF, CD et FA sont en ligne droite.
- Jean-Victor Poncelet (1788-1867) Traité
des propriétés projectives des figures (1822)
Composé dans les prisons russes après la défaite de
Napoléon en Russie.
Son programme : Trouver les
propriétés géométriques communes aux sections
planes de diverses projections.
Figures homologiques
Exemples de propriétés invariantes
par projection : alignement, droites concourantes,
le Théorème de Pascal. Les transformations du plan
dans le plan se placent au coeur de son travail.
- Influence de Poncelet : chez Möbius
(1790-1868), Plücker (1801-1868) et Michel Chasles
(1793-1880)
Les transformations géométriques
Möbius et Chasles traduisent en termes
analytiques l'idée de transformation de Poncelet. En
particulier, Möbius met en évidence la notion de transformations
affines, c'est-à-dire celles qui conservent le
parallélisme sans nécessairement conserver les
distances. Il y a deux types de transformations
affines, les déplacements (qui ne modifie pas
le figure en tant que telle (rotations, translation,
symétrie et rotation, selon Euler) et les similitudes.
- Multiplication des géométries De 1792
à 1870
Géométrie
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Terminologie
de Klein
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Nombre de
parallèles par un point à une droite données
|
Somme des
angles d'un triangle
|
Euclide
|
Géométrie
parabolique
|
une parallèle
|
Pi
|
Gauss - Bolyai
- Lobatchevsky
|
géométrie
hyperbolique
|
un infinité de
parallèles
|
inférieure à
Pi
|
Riemann
|
géométrie
elliptique
|
pas de
parallèles
|
supérieure à
Pi
|
- Félix Klein (1849-1925).
- Il montre que la géométrie
euclidienne, et toutes les géométries métriques,
sont un cas particulier de la géométrie
projective.
- Considérations comparatives sur
les recherches géométriques modernes
(1872)
- Il remarque que les
différentes géométries peuvent se caractériser
par l'ensemble des transformations qui gardent
invariants certaines propriétés (exprimés en
fait par des formes algébriques homogènes).
Ces ensembles constituent des groupes,
c'est-à-dire que la composition de deux
transformations de cet ensemble est dans cet
ensemble, et qu'il y a une transformation
identité et chaque transformation a un
inverse. Un exemple d'un tel groupe : le
groupe des rotations.
Groupe
|
Position
|
Direction
|
Orientation
|
Distance
|
Angle
|
Parallélisme
|
Identité
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X
|
X
|
X
|
X
|
X
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X
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Translation
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|
X
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X
|
X
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X
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X
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Déplacements
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X
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X
|
X
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X
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Isométrie
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X
|
X
|
X
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Similitudes
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X
|
X
|
- La géométrie elliptique
correspond au groupe transformations qui
laissent invariante une ellipsoïde imaginaire.
- C'est une vue très
unificatrice : unification des géométries mais
aussi avec l'algèbre par le fait que certaines
formes algébriques forment des groupes
équivalents (isomorphes) à certains groupes de
transformations et donc à leur géométrie. Les
géométrie non-euclidiennes qui ébranlaient
auparavant l'édifice mathématiques en viennent
à se rattacher elle.
- David Hilbert (1862-1943) Fondements
de la géométrie (1899)
Les discussions sur la nature de la
géométrie et sur la nature des objets géométriques a
relancé le débat sur les définitions qui devraientà la
base de la géométrie. Hilbert entreprend donc donner
une nouvelle axiomatisation de la géométrie. Dans
celle-ci, les objets ne sont pas définis par leur
nature mais plutôt par les propriétés des relations
que ces objets ont entre eux.
Ce système d'axiomes doit être consistant
(il n'entraîne aucune contradiction) et indépendant
(aucun axiome ne peut découler des autres). Plus tard
on ajoutera une autre exigence, soit que le système
soit complet (un énoncé ne peut être que vrai
ou faux).
L'école allemande qui développera à
partir de là sera très influente dans le monde. La
mathématique axiomatique deviendra dans les décennies
à venir la principale forme de mathématiques.
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