MAT 6221

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Ptolémée
Table de cordes
inégalité

Énoncé

a < b => crd(b)/crd(a) < b/a

Données : Soit le cercle ABGD, et les arc AB et BG où arcAB < arc BG.

À démontrer : BG/AB < arcBG/arcABF
Figure

Démonstration

Tracer BD, la bissectrice de l'angle ABG.

Soit E le point d'intersection de BD et AG

On a alors que AD = DG, [cordes d'arcs égaux]

et que GE > EA. [Puisque le triangle ABG n'est pas isocèle, la bissectrice en B n'est pas la médiane...]

Abaisser la perpendiculaire DZ de D sur AB.

On a AD >ED > DZ [DZ est la plus court chemin de D à AG, Plus on s'écarte de Z sur AG, plus la distance à D augmente]

Donc l'arc de cercle de rayon ED coupe le prolongement de DZ en T et coupe AD en H, entre A et D.

On a donc que SectDET > TriangDEZ
et que TriangDEA > SectDEH,
d'où TriangDEZ/TriangDEA < SectDET/SectDEH
Ccar si b < a et d < c alors b/c < a/c < a/d]

Mais on a aussi TriangDEZ/TriangDEA = EZ/EA
[L'aire du TriangDEZ = (DZxEZ)/2 et l'aire du TriangDEA = (DZxAE)/2]

et SectDEZ/SectDEH = AngleZDE/AngleEDA,
[dans un cercle les secteur sont proportionnels aux arcs les définissant]

et donc ZE/EA < AngleZDA/AngleEDA.

Par addition, on a ZA/EA < AngleZDA/AngleADE
[On ajoute EA à ZA et Angle ADE à Angle ZDA, C'est comme si nous ajoutions le rapport 1 aux deux membres de l'ingalité.]

En doublant, on obtient GA/EA < AngleGDA/AngleEDA.
[On double ZA et AngleZDA, l'inégalité reste valable]

Par soustraction, on a GE/EA < AngleGDE/AngleEDA.
[On enlève AE à GA, et AngleEDA à AngleGDA.)

Or GE/EA = GB/GA,
(TriangAED est semblable à TriangBEG, voir les arcs interceptés par les angles]

et AngleGDB/AngleBDA = ArcGB/ArcBA,

donc GB/BA < ArcGB /ArcBA.
[Car AngleGDE = AngleGDB et AngleEDA = AngleBDA].

CQFD

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