Calcul différentiel et intégral (1)
Nous suivrons l'ordre des articles
de Jacques Lefebvre : Moments et aspects de l'histoire du calcul
différentiel et intégral, Bulletin AMQ, déc. 1995, mars,
mai, octobre 1997, mars, mai 1998.
Ce premier cours portera sur les
deux premiers articles.
Dans ce qui suit, la structure des
articles sera présentée, mais des compléments viennent s'y
ajouter.
1. Une ligne du temps relié à
l'évolution du calcul différentiel et intégral
2. Premier article : La Grèce
- Les quatre mots de l'expression consacrée :
Calcul, différentiel, intégral, et.
- Thèmes généraux relatifs au calcul
différentiel et intégral
- Infiniment petit et infiniment grand
- Discret et continu
- Arithmétique - géométrie - algèbre
(analyse)
- Nombre et figure (grandeur)
- Temps et espace
- Le fini et l'infini
- Les matériaux de base
- Problèmes générateurs : aire, tangente,
vitesse, maximun-minimum, centre de gravité
- concepts de fondements
- Nombres et rapport
- Séries
- Limite
- Infiniment petit et infiniment grand
- Fonction
- L'antiquité grecque
- Deux types de difficultés avant Euclide
- Mesure des grandeur et rapport
- Crise des incommensurables
- L'infini
- Les paradoxes de Zénon
d'Élée (490-425 av. notre ère) :l'infini est à
éviter
- Quatre ajustements en fonction de ces
difficultés
- Rejet de l'infini actuel
Un exemple, Archimède
(287-212 av. notre ère)La Méthode relative aux
théorèmes mécaniques
Rappel préliminaire
Le principe du levier : Fd = F'd' ou F est à F' comme
d' est à d.
Énoncé Prop. 1)( : Soit AG
la base d'une parabole. Trois fois le secteur de
parabole ABG et quatre fois le triangle ABG ont la même
aire, où AD = DG et BD
est | | au diamètre de la parabole.
Démonstration
:
Soient
GZ
tangent à la parabole en G et AZ | | au diamètre.
1) Par
des théorèmes sur les paraboles, on a DB
= BH
Et
donc l'aire du triangle AZG est égal à quatre (4)
fois l'aire du triangle ABG.
2) Par
un théorème sur les paraboles, si O est un point
quelconque de la parabole, on a
ME
est à EO
comme GA est à AE (ME:EO
:: GA:AE)
Par
ailleurs, par les triangles semblables, GA est à
AE comme GK
est à KN
(GA:AE ::GK:KN)
Donc,
ME
est à EO
comme GK
est à KN
(ME:EO
:: GK:KN)
(Pensons au levier ici).
3)
Prolongeons le segment GK au delà de K jusqu'à un
point T tel que GK
= KT.
On a
alors, par le point 2), que ME
est à EO
comme KT
est à KN.
4) On
peut interpréter cette proportion, par le principe
du levier, comme voulant dire que le segment OE
placé à T
équilibre le segment ME
placé à N,
avec pour pignon le point K.
5)
Prenant alors successivement tous les points "O"
de la parabole délimitant le secteur et
considérant que le secteur ABG est composé des
segments "OE"
accolés les uns aux autres et que le triangle AZG
est de même composés des segments "ME"
accolés les uns aux autres, on peut dire que le
secteur ABG placé à T,
perpendiculaire au plan du secteur (donc
perpendiculaire à l'écran) équilibre le triangle
AZG, autour du pignon K.
Autrement
dit, si x est le centre de gravité du triangle
AZG, on a que le triangle AZG est au secteur ABG
comme TK
est à Kx.
6) Or
le centre de gravité du triangle AZG se trouve sur
GK
à un point x
tel que Kx
soit le tiers de GK.
Il en résulte donc que le triangle AZG est au
secteur ABG comme TK
est au tiers de KG,
autrement dit comme 3 est à 1. Donc le secteur ABG
est trois fois plus petit que le triangle AZG. Or,
comme on l'a dit en 1), le triangle AZG vaut
quatre fois le triangle ABG. Il en découle que
trois fois le secteur de parabole ABG correspond à
la même aire que quatre fois le triangle ABG.
CQFD
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|
Archimède ne considère pas cette approche
comme une preuve acceptable, même si elle donne une idée
du résultat cherché.
(Un mot sur les oeuvres
d'Archimède et leur parcourt pour nous atteindre.)
- La méthode d'exhaustion : éviter l'infini en
utilisant le raisonnement par l'absurde.
- Théorème d'exhaustion : Euclide Livre X,
proposition 1 (article de J. Lefebvre, p. 50):
Deux grandeurs inégales étant
proposées, si l'on retranche de la plus grande une
partie plus grande que sa moitié, et si l'on retranche
du reste une partie plus grande que sa moitié, et si
l'on fait toujours la même chose, il restera une
certaine grandeur qui sera plus petite que la plus
petite des grandeurs proposées.
- Propositions démontrées à l'aide de ce
théorème:
- Euclide, Livre XII, propositions 1
et 2
Prop. 1 : Les polygones semblables
inscrits dans des cercles sont entr'eux comme les
quarrés des diamètres
Prop. 2 : Les cercles sont entr'eux
comme les quarrés de leurs diamètres
- Archimède : De la mesure du
cercle (Dhombre, J., et al., Mathématiques
au fil des âges, Paris : Gauthier-Villars, 1987,
p. 133)
Énoncé (Prop. 1) Tout cercle est
équivalent à un triangle rectangle dans lequel
l'un des côtés de l'angle droit est égal au rayon
du cercle et la base (c'est-à-dire l'autre côté de
l'angle droit) égale au périmètre du cercle.
Structure de la démonstration :
Soit C, l'aire du cercle, et T,
l'aire du triangle de base la circonférence c du
cercle et de hauteur r, le rayon du cercle
Supposons que C>T. Alors,
je peux construire un polygone d'aire P,
inscrit dans le cercle, tel que l'aire (en
jaune dans la figure) comprise en le polygone
et le cercle soit plus petite que C - T,
autrement dit C - P < C - T. (J'utilise le
théorème d'exhaustion, comme Euclide l'avait
fait dans sa proposition 2 du livre 12).
- Alors, on a que T < P.
- Or, l'aire P du polygone
est égale à celle d'un triangle rectangle
de hauteur f et de base le périmètre du
polygone. Or on a que f < r et que le
périmètre du polygone est inférieur à la
circonférence c du cercle. Donc, P < T.
- Contradiction !
|
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Supposons maintenant que T
> C, Alors, je peux construire un polygone
d'aire P, circonscrit au cercle, tel que
l'aire (en jaune dans la figure) comprise
entre le polygone et le cercle soit plus
petite que T - C, autrement dit, P - C < T
- C. (À nouveau par le théorème d'exhaustion)
- Alors, on a que P <
T.
- Or, l'aire P du polygone
est égale à celle d'un triangle
rectangle de hauteur f et de base le
périmètre du polygone. Or on a que f = r
et que le périmètre du polygone est
supérieurà la circonférence c du cercle.
Donc, T< P.
- Contradiction !
|
|
On voit que le raisonnement dépend de la
nature de la figure étudiée.
Remarquons aussi qu'Archimède donne
l'équivalent d'une formule, alors qu'Euclide donne le sien
en terme de rapport (Vision plus puriste que celle
d'Archimède)
- Contourner les incommensurables - la théorie
des rapports et proportions
Un regard sur la structure des Éléments d'Euclide
.
Tiré de l'article de Bernard Vitrac, Les treize Livres
d'Euclide, dans Les Cahiers de Science & Vie,
Mathématiques, Ce que les Grecs ont vraiment inventé, no 55,
Février 2000, p. 50 à 56.
Un site intéressant : Les Éléments, avec une vision
"géométrique" avec des couleur (signalé par Fernando Hitt) :
http://sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Euclid/byrne.html
- La quatrième proportionnelle
Ce sera Descartes
(1637) qui, justement, en utilisant la quatrième
proportionnelle, et en fixant l'unité de mesure pour l'une
des grandeurs, en vient à justifier clairement la
multiplication comme une opération fermée sur les nombres
(vus simplement comme mesures de longueurs). C'est là
qu'on voit que les rapport ne sont pas des nombres pour
les grecs.
- La notion de grandeur (non numérique) - la
propriété d'Archimède
À l'époque d'Euclide, on discutait à savoir
si les angles corniculaires
étaient archimédiens (lorsque considérés comme des
angles).
- De nombreuses réalisations
- Recherches de tangentes
- Euclide (Éléments, Livre III,
déf. 2) : Une droite est dite toucher le cercle
lorsque, rencontrant le cercle et étant produite, elle
ne coupe pas le cercle.(Unetouchante,
expression du XVIIe siècle)
- détermination de tangentes : Euclide
(le cercle), Apollonius (coniques), Archimède (+ une
direction du déplacement, Spirale d'Archimède)
- Optimisation : Apollonius
(250-175 av. notre ère) Il montre par exemple comment
tracer un segment de droite depuis un point quelconque
jusqu’à une conique donnée de façon à ce que le segment
soit, selon la position du point par rapport à la conique,
le plus court ou le plus long. Il remarque alors qu’une
perpendiculaire à ce segment passant par l’extrémité qui
sur la conique est tangente à la conique.
3. Deuxième article, Moyen Âge et dix-septième siècle avant
Newton et Leibniz.
Le Moyen Âge
Les paradoxes sur l'infini
- Deux cercles concentriques ont le même
nombre de points.
- La diagonale d'un carré a le même nombre de
points que le côté du carré.
Oresme
(1323-1382) et la latitude des formes
- Toute qualité uniformément difforme a même
sujet ou un sujet égal selon le degré du point milieu de ce
sujet.
- « En divisant ainsi le sujet en parties
égales, et en désignant la plus petite partie comme la
première, le rapport des qualités partielles, c'est-à-dire
leur relation naturelle, est comme la série des nombres
entiers impaires où le premier est 1, le deuxième 3, le
troisième 5, etc., ce qui est évident sur la figure. » (Dhombre,
J., et al., Mathématiques au fil des âges, Paris :
Gauthier-Villars, 1987, p. 181)
- La série harmonique 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …
+ 1/i + …
Il remarque que pour i = n+1 à 2n, 1/i >
1/2n. Il prend alors le premier terme, 1, lui ajoute un
minorant à la somme des deux termes suivants, 1/3 + 1/4
> 1/4 + 1/4 = 1/2 (n = 2) , puis de même pour les
quatre termes suivants, 1/5 + 1/6 +1/7 + 1/8 > 4 x 1/8
= 1/2 (n = 4 = 22), etc. Chacune de ces sommes
partielles est supérieure à 1/2 (pour n , 1/n+1 + ... +
1/2n > n x (1/2n) = 1/2). La série est donc minorée par
kx1/2, avec k pouvant être aussi grand que l'on veut. La
valeur de la somme est donc plus grande que n'importe quel
nombre, aussi grand soit-il.
- « Si un certain temps avait été ainsi divisé
en parties proportionnelles [c'est-à-dire la division
successive par deux] ; qu'en la première partie de ce temps,
un certain mobile se mût avec une certaine vitesse ; qu'en
la seconde, il se mût deux fois plus vite, en la troisième
trois fois plus vite, et ainsi de suite, la vitesse
croissant toujours de même, la vitesse totale serait
précisément quadruple de la vitesse de la première partie ;
de sorte qu'en l'heure entière, ce mobile parcourrait un
chemin exactement quadruple de celui qu'il a parcouru
pendant la première partie de cette heure. »
La figure suivante explique le raisonnement
d'Oresme (sans lien de couleurs entre les deux figures)
devient
- Les précurseurs de Newton et Leibniz
Est-ce un pur hasard si le calcul s'est
développé au XVIIe siècle ?
Étude du mouvement : Astronomie physique, la
navigation, la balistique.
- Détermination de la trajectoire d'un
projectile : Vitesse et accélération
- Tangentes : l'optique
- Maxima et minima : Balistique, astronomie
(périhélie, aphélie), optique (trajet de la lumière)
- Mesure des longueurs, Aires : Astronomie
(distance parcourue par une planète), centre de gravité,
forces d'attractions entre deux corps.
- Galilée
(1564-1642)
- Les paradoxes reliés à l'infini
- La roue d'Aristote
- L'anneau et le cercle
- L'arc de cercle qui devient une droite
(à l'infini)
- L'étude
du mouvement(Discours concernant deux nouvelles sciences,
1638)
- Le temps pendant lequel un espace
quelconque est franchi par un mobile, partant du repos
avec un mouvement uniformément accéléré, est égal au
temps pendant lequel le même espace serait franchi par
le même mobile avec un mouvement uniforme, dont le degré
de vitesse serait la moitié du plus grand et dernier
degré de vitesse atteint au cours du mouvement
uniformément accéléré. [On sent l'esprit d'Oresme ici]
- Si un mobile, partant du repos, tombe
avec un mouvement uniforme accéléré, les espaces
parcourus en des temps quelconques par ce même mobile
sont entre eux en raison double des temps, c'est-à-dire
comme les carrés de ces mêmes temps. (Cette raison
double (le carré du temps) vient de ce que les espaces
se calculent par la somme des nombres impairs, qui est
le carré du temps)
- Cavalieri
(1598-1647) Geometria
indivisibilibus (1635)
La surface comme une juxtaposition de lignes.[Struick,
D.J., A Source Book in Mathematics, 1200-1800,
Cambridge, Mass. : Harvard Univ. Press, 1969, pp. 214-219.)
- Terminologie : o.l.a signifie omnis
lineae a, ou toutes les lignes a, ou la "somme" des
lignes de a. Pour la "somme" des carrés, il emploie o.q.a,
et pour les cubes, o.c.a .
- Dans un parallélogramme on a que Sc
= 2Sa, ou S symbolise "somme" (ma notation). Sa
signifie "Somme des a"
- Il démontre aussi que Sc2
= 3Sa2
- Voyons la preuve pour Sc3
= 4Sa3 (avec ces notations et non celles de
Cavalieri)
On a que (x+y)3 = x3 +
3x2y + 3xy2 + y3. Or, comme c = a
+ b, à chaque ligne horizontale, on a
Sc3 = Sa3
+ 3Sa2b + 3Sab2 + Sb3.
Par symétrie entre les a et les
b, on obtient Sc3 = 2Sa3
+ 6Sa2b. (*)
Or, Sc3
=c Sc2 = c S(a+b)2 = c(Sa2
+ 2Sab + Sb2) ; et Sa2
= Sb2 = (1/3)Sc2 [par un
résultat précédant].
D'où, Sc3 =
(2/3)cSc2 + 2cSab
= (2/3)Sc3 + 2(a+b)Sab
= (2/3)Sc3 + 2Sa2b
+ 2Sb2a
= (2/3)Sc3 + 4Sa2b.
Donc, Sc3 = 12 Sa2b.
En utilisant cette dernière
identité dans l'équation (*), on obtient Sc3
= 2Sa3 +(1/2)Sc3, d'où,
Sc3 = 4Sa3.
- On retrouve là une formule connue...
- Le contre-exemple de Guldin
(1577-1643)
Selon le principe de Cavalieri, les
segments de droites à comparer doivent être parallèles.
Il en est ainsi dans le cas suivant. Les triangles
jaunes et vert sont, selon Cavalieri, égaux.
En étudiant un cercle de rayon donné passant
par un point P d'une courbe, Descartes constate que le
cercle coupera en un autre point cette courbe, sauf si le
rayon du cercle passant par P est perpendiculaireà la
courbe. Alors, dans ce dernier cas, le cercle ne coupe qu'en
un seul point la courbe. Ainsi, pour déterminer une
perpendiculaireà une courbe en un point P(x0,y0)
de cette courbe, il faut faire en sorte que le centre du
cercle soit placé de façon telle que ce cercle ne coupe la
courbe qu'en un seul point. En exprimant cela
algébriquement, il s'agit de résoudre un système
d'équations, provenant de l'égalité des coefficients dans
l'égalité de l'ordonnée d'un point du cercle et d'un point
de la courbe, de façon à ce que ce système n'ait qu'une
solution (pour x = x0). En général, cela exige
des calculs très longs et parfois difficiles.
Soit le centre du cercle. Soit A
l'origine du système de coordonnées. La courbe a pour
équation y = f(x). On veut trouver la tangente en C à cette
courbe.
L'équation du cercle de centre P
est y2 = r2 - (d-x)2. Les points
communs au cercle et à la courbe satisfont donc l'équation
(égalité en y) f2(x) - r2 +
(d-x)2 = 0. De plus, il faut qu'il n'y ait qu'une
seule racine, celle-ci double. L'expression de gauche est
dès lors divisible par (x-x0)2. Donc,
on a qu'il existe un polynôme q(x) tel que f2(x)
- r2 + (d-x)2 = (x-x0)2q(x).
En égalant les coefficients, on obtient un système
d'équations dont r et d sont les inconnues (en fait d et r
sont dépendant l'un de l'autre). En résolvant ce système, on
trouve les valeurs qui nous permettent de déterminer la
position du centre P. Voici un exemple (dans Katz mais non
dans Descartes).
Trouver la tangente à y = x2
au point (x0,x0). On a que
(x2)2
- r2 + (d-x)2 = (x-x0)2q(x).
Dès lors, q(x) est un polynôme
de degré 2 qui a la forme x2 + ax + b. En
remplaçant dans la formule ci-haut et en égalant les
coefficients des puissances correspondantes de chaque côté
de l'égalité, on obtient le système suivant
a - 2x0 = 0 (coefficients
des termes de degré 3)
b - 2x0a + x02
= 1 (coefficients des termes de degré 2)
ax02 - 2bx0
= -2d (coefficients des termes de degré 1)
bx02 = d2
- r2 (les termes constants)
En déterminant la valeur de a, par la
première équation, puis, en remplaçant dans la seconde,
déterminant la valeur de b, on peut déterminer la valeur de
d en utilisant la troisième. La position de P est ainsi
fixée (2x03 + x0, 0). On
peut dès lors calculer la pente du rayon PC : -y0/(d-x0)
= -x02/2x03
= -1/2x0. La pente de la tangente est donc 2x0,
ce qui correspond au résultat connu.
- Fermat
(1601-1665) La tangente par les infiniment petits
- Dans son étude sur la mesure des volume de
vin dans les tonneaux (1615), Kepler remarque que le cube
est le volume maximal d'un parallélépipède inscrit dans
une sphère est le cube. À l'occasion de cette étude , il
remarque que près d'un maximum, la variation est pour
ainsi dire imperceptible.
- La méthode du maximum et du minimum
Trouver l'aire maximale d'un quadrilatère de
périmètre donné
B+H = a. Posons x = B, alors H = a-x. Aire =
x(a-x) = ax - x2.
(Première méthode) Méthode de la
racine double
Or, Viète avait montré que que dans cette
équation, le coefficient a était la somme des deux racines
de la façon suivante: Si x1 et x2
sont les racines, alors : (ax1 - x12)/(x1
- x2) = (ax2 - x22)/(x1
- x2). Doù b = x1 + x2.
Fermat remarque que le maximum est atteint
lorsqu'il y a une racine double : x = b/2.
Il propose alors la méthode suivante pour
trouver le fax de p(x):
- Faire p(x1) = p(x2)
- Diviser par x1 - x2
- Poser x1 = x2
Exercice : le faire pour p(x) = bx2 -
x3.
(Deuxième méthode) Méthode des
infinitésimaux.
Remplacer x1 et x2 de
la première méthode par x et e, ou e = x1 - x2.
La méthode devient :
Faire en sorte que M = x(a-x) ait une
racine double
- Faire p(x) ˜ p(x+e)
(Adéquation, non pas = )
- Diviser par e
- Poser e= 0
(Suite)
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