MAT 6221

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Cours

 

(Ce qui suit est basé sur les quatre derniers articles de Jacques Lefebvre)

 

Isaac Newton
(1642-1727)

Les trois approches de Newton :

1. Les méthodes des infinitésimaux (écrit 1669, publié en 1711)

   Si y = xⁿ, alors y' = ((x+o)ⁿ - xⁿ)/o = (xⁿ + nx^n-1o + (n(n-1)/2!) x^n-2o² + … - xⁿ)/o = nx^n-1(o/o) + (n(n-1)/2!) x^n-2o + …
   = nx^n-1

2. La méthode des fluxions (Méthode des fluxions et des suites infinies, écrit 1671, publié ????, en anglais, 1740 en français)

   Si y = xⁿ, alors y'(on devrait écrire y avec un point par dessus) est la fluxion de la fluente y, et x' est la fluxion de la fluente x. Les accroissements respectifs de y et x sont x'o et y'o. Calcul de y'.

   y + y'o = (x + x'o)ⁿ = xⁿ + nx^n-1x'o + (n(n-1)/2!) x^n-2(x'o)² + … .

Donc y' = nx^n-1x' + (n(n-1)/2!) x^n-2x'²o + … = nx^n-1x' .

3. La méthode des première et dernières raisons. (Principia Mathematica, 1687)

   La dérivée est (y(x+h) - y(x))) / h, lorsque h devient aussi petit que l'on veut.

Le théorème fondamental du calcul

Si z est la surface sous la courbe à B, DB : BE :: z' : x'

où BE = 1, donc z' = x' DB.

Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716)

Trois idées qui l'ont inspirées.

1. Mettre en place un véritable calcul

La recherche d'une notation fonctionnelle qui dirige la pensée.



signifie



 

Voir aussi le cours 8 : l'origine de la notation pour la dérivée seconde.

 

2. La technique des suites

Basé sur l'égalité a₁ - a_n = (a₁ - a₂) + (a_{2 - a3}) + … + (a_n-1 - a_n)

Il en tire que la somme infinie des nombres de la forme a_n = 1/n(n+1) est 1. (Exercice : à montrer)

Il en tire aussi que la somme des différences égale la différence des valeurs extrêmes de la fonctions, soit



3. La généralisation du triangle caractéristique

   Dans la figure, on a dy/v = dx/y, ou vdx = ydy. Ce qui permet de trouver l'aire formée par les sous-normales (v).

Publications :

1684 Le calcul différentiel, mais avec des définitions boiteuses.

Tangente : une droite sécantes dont les points d'intersectionà la courbes sont très (indéfiniment ?) proches.

1686 Le calcul intégral

Les réponses aux objections

1. 1689 : dx est un grain de sable par rapport la Terre
2. 1694 : Multiplier un infiniment infini par dx donnera x (un avant goût des infinis de divers ordre de Canot)
3. vers 1700 : Penser en termes d'indéfiniment grands, donc d'infini potentiel.

Mais il y a des incongruités

1. Ce qui est vrai pour P(x) lorsque x s'approche d'une valeur x_{o, l'est aussi à la valeur} x_o
2. La somme 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - … = 1/2 (la moyenne entre la somme d'un nombre pair de 1 et celle d'un nombre impair de 1)

Marquis de l'Hospital : Analyse des infiniment petits, Pour l'intelligence des lignes courbes (1696)

• Première publication structurée du calcul différentiel de Leibniz
• Définitions plus ou moins claires des éléments de base : quantités variables, quantités constantes, différences, différentielles
• Deux demandes
  1. x + dx = x
  2. Une courbe « peut être considérée comme l'assemblage d'une infinité de lignes droites, chacune infiniment petite (…) ».
• Les règles de manipulation des différences
  • d(xy) = (x+dx)(y+dy) - xy = xy + xdy + ydx + dxdy -xy = xdy + ydx + dxdy = xdy + ydx.
  • On en tire d(xⁿ) = nx^n-1, en posant y = x dans la règle précédente et en augmentant le nombre de variable.
  • La règle de l'Hospital (article 163)

    Autour du point où f(x) et g(x) s'annulent en même temps, le rapport f(x)/g(x) est le même que le rapport df/dg (en regardant le tout en valeur absolue)

     

     

     

    Le XVIIIe siècle - le siècle du formalisme, puis celui des remises en question
    Le siècle d'Euler

Leonard Euler (1707-1783)

• Introduction in analysin infinitorum (1748), Institutiones calculi differentialis (1755), Institutiones calculi integralis (1768-1770).
• Le calcul formel

  Premier exemple

  Puisque a⁰ = 1, Euler pose aⁱ = 1 + ki, où i est infiniment petit. Pour tout nombre x fini, il existe un infiniment grand tel que N = x/i, d'où

  a^x = (1 + (kx/N))^N.

  En utilisant le développement du binôme, et considérant que 1 = (N-1)/N = (N-2)/N = … , Euler obtient

  a^x = 1 + kx/1! + k²x²/2! + … ,

  et en désignant a par e, le nombre népérien, ou d'Euler, avec k = 1, on obtient

  e^x = 1 + x/1! + x²/2! + … , et donc e = 1 + 1/1! + 1/2! + … .

  Second exemple

  1/(1+1)² = 1/4, entraîne que 1 - 2 + 3 - 4 + 5 = 1/4, car 1/(1+1)² = 1 - 2x + 3x2 - 4x3 + …

Les réactions au manque de fondement du calcul

Berkeley (1685-1753)

• Obscurité des concepts
• Non-validité des méthodes

Colin Maclaurin

• Le retour aux grecs.

Jean le Rond d'Alembert (1717-1783)

• Vers la limite comme concept de base, mais trop intuitive

Les mathématiciens autour de l'École polytechnique

Lagrange

La série comme fondement du calcul.

Lazare Carnot

Sylvestre François Lacroix

Le XIXe siècle - vers la rigueur

Louis Augustin Cauchy (1789-1857)

La limite comme fondement du calcul. Définition rigoureuse de limite.

La construction des réels, puis l'axiomatisation des entiers.

L'infini (Cantor)

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