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Les courbes algébriques
Dans un contexte scolaire, on introduit souvent les coniques via leurs
équations.
Dans un premier temps, on utilise des formes
simplifiées des équations, qui supposent que les
courbes
sont "bien placées" par rapport au système
d'axes. Ainsi,
on pourra décrire
- les paraboles via l'équation
- les ellipses via l'équation
- les hyperboles via l'équation
Par la suite, si on permet d'appliquer des translations
à nos courbes, on obtiendra les équations sous
une forme un peu plus générale
- l'équation de la parabole devient
- l'équation de l'ellipse devient
- l'équation de l'hyperbole devient
Enfin, si on permet d'appliquer aussi des rotations à nos
courbes, on obtient l'équation
générale suivante
qui couvre aussi le cas des coniques
dégénérées
- un point
- deux droites
- une droite
Une dernière remarque: dans l'équation
générale, on peut supposer que tous les
coefficients sont (en valeur absolue) plus petits ou égaux
à 1. (Pourquoi ?) Ceci nous permet d'obtenir,
à l'aide du logiciel Graphing
Calculator,
une représentation dynamique de la courbe
associée
à l'équation (sous sa forme
générale).
L'image ci-dessous reproduit une
fenêtre de ce logiciel, où l'on peut remarquer les
6 glissières permettant de varier gestuellement les
coefficients entre -1 et +1.
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Par un clic sur l'icône de gauche,
vous pourrez vous rendre à une page web où vous
pourrez télécharger le lecteur Graphing Calculator. |
Vous
pouvez télécharger le fichier utilisé
pour obtenir l'image ci-dessus par un clic-droit (un
contrôle-clic, sur Macintosh)
sur l'icône de
droite. |
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Appendice
technologique
Les formules ont été créées
avec l'éditeur d'équations de Microsoft Word.
À l'aide d'un clic-droit (ou d'un contrôle-clic
sur les Macintosh
ne disposant pas d'une souris à deux boutons), on les a
ensuite
enregistrées en tant qu'images (au format GIF), pour enfin
les
insérer dans la page web.
L'utilisation de Graphing
Calculator est relativement simple. Deux
détails méritent peut-être
d'être soulignés ici :
- Nous n'avons pas pu utiliser la lettre e
pour représenter un coefficient de l'équation
générale, celle-ci étant
réservée au
nombre d'Euler 2,71828...
- Les glissières sont créées
grâce à la fonction slider.
Mais, contrairement à ce qui est affiché
après
coup, les nombres doivent être séparés
par un
point-virgule (et l'indicateur décimal doit être
une
virgule), du moins si votre système d'exploitation est
configuré pour suivre les conventions francophones.
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