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Passage des sections coniques aux lieux géométriques

Étant donné une section de cône, comment passer au lieu géométrique correspondant ? Dans le cas de l'ellipse, par exemple, ceci nécessite tout d'abord de trouver les foyers F1 et F2 ainsi que la constante c, pour ensuite vérifier la propriété caractéristique d'une ellipse en tant que lieu géométrique : un point P est sur la courbe si et seulement distance(P,F1) + distance(P,F2)  =  c.

Le mathématicien français Pierre Dandelin nous a légué une élégante approche géométrique  pour résoudre ce problème. Elle repose sur l'utilisation de deux sphères, dites sphères de Dandelin, qui sont tangentes à la fois au cône et au plan secant (voir la figure Cabri 3D ci-dessous). Les foyers cherchés seront en fait les points de contacts des deux sphères avec le plan tangent, tandis que la constante c sera égale à la distante entre les deux cercles de tangence entre les sphères et le cône.


Comment manipuler les éléments de la figure ?
  • On peut saisir et faire glisser le point P le long de la conique.
  • On peut faire tourner la figure complète par un glissé utilisant le bouton droit de la souris.
    (Pour Macintosh muni d'une souris à un seul bouton, un glissé utilisant le bouton gauche et accompagné d'une pression sur la touche de contrôle fait aussi l'affaire.)
  • On peut faire varier le cône et le plan en saisissant et en faisant glisser un des points suivants:
    • le sommet  S0 (pour varier sa position)
    • les points distincts de P sur la conique (pour varier l'ouverture du cône ainsi que l'inclinaison du plan). 
On remarque alors que:
  • distance(P,M1) = distance(P,F1)  et  distance(P,M2) = distance(P,F2)     [Pourquoi ?]
  • distance(P,M1) + distance(P,M2) = constante     [Pourquoi ?]
  • d'où l'on a que distance(P,F1) + distance(P,F2) = constante.

Appendice technologique

La figure dynamique intégrée à cette page est un fichier Cabri 3D affiché à l'aide du module correspondant. Pour l'intégrer à une page web, il nous a suffi d'insérer le code HTML suivant:

    <embed   src="cabri3D/dandelin.cg3"
                    height="510"  width="510"
                    pluginspage="www.cabri.com/v2/pages/fr/downloads_cabri3d.php"
                    >

avec les paramètres suivants :
  • "src" indique le fichier Cabri 3D utilisé (ici le fichier "dandelin.cg3", placé dans un dossier nommé "cabri3D" situé au même niveau que la page web (référence relative à la page web)
  • "height" et "width" servent à préciser les dimensions du rectangle dans lequel sera présenté le fichier
  • "pluginspage" donne une référence à une page web à partir de laquelle le module à utiliser pourrait être téléchargé s'il était manquant.