GRMS 2014 - 2016

Les systèmes de positionnement pas satellites (GPS)

Nous voulons montrer comment un GPS calcule la position d’un point près de la Terre, et plus spécifiquement quel rôle joue le Théorème de Pythagore, en fait la version 3D de celui-ci, dans le fonctionnement du GPS. Pour y arriver, nous utilisons les capacités graphiques en trois dimensions de GeoGebra.

Ouvrez la fenêtre GeoGebra dans une nouvelle fenêtre en faisant un clic-droit ici pour ouvrir dans une nouvelle fenêtre. Vous pouvez aussi, si vous préférez, télécharger le fichier Geogebra et l'ouvrir sur votre ordinateur. Disposez les deux fenêtres, celle de la page actuelle et la fenêtre GeoGebra, pour qu'elles soient côte à côte sur votre écran, de sorte que vous puissiez passer de l'un à l'autre facilement.

Visionnez maintenant la courte vidéo ci-dessous. Vous apprendrai comment vous déplacer dans la fenêtre GeoGebra. N'hésitez pas à arrêtre la vidéo pour faire vous-même les manipulations dans la fenêtre GeoGebra.

Vidéo décrivant comment naviguer dans la fenêtre GPS

Maintenant, vous pouvez vous déplacer vous-même dans le fenêtre GeoGebra ou encore regarder la vidéo suivante qui commente chacune des étapes de la fenêtre GeoGebra.

Vidéo décrivant mathématiquement les différentes étapes de la fenêtre GPS

Quelques explications...

• Notre position P sur la Terre est déterminée par ses trois coordonnées (x, y, z) selon un
  système de référence 3-D conventionnel. En fait, ces coordonnées peuvent être ramenées à deux
  angles correspondant à la latitude et la longitude de notre position et à une hauteur au-dessus du
  niveau de la mer.

• Il faut donc avoir à la disposition de notre GPS des informations permettant de calculer ces trois
coordonnées.

• Nous aurons donc besoin de produire au moins trois équations dont les trois inconnues seront
  x, y, z. Ces trois équations nous seront fournies par la distance du point à trois points de l’espace
  dont les coordonnées sont connues. Ces trois points sont en fait des satellites, dont on connait
  précisément la position de chacun à chaque instant. Disons que ces positions sont respectivement
  (x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂), (x₃, y₃, z₃).

• On peut comprendre comment cela fonctionne en remarquant que notre position (x, y, z) est située sur
  la sphère de centre (x₁, y₁, z₁) et de rayon d₁, la distance entre la position du premier satellite et
  notre position (x, y, z). Mais elle est aussi sur la sphère de centre (x₂, y₂, z₂) et de rayon d₂ et la
  sphère de centre (x₃, y₃, z₃) et de rayon d₃.

• Voyons les équations qu’on obtient.

• Par le théorème de Pythagore, on a que la distance de notre position P au satellite i est calculée
par l’expression

d(Sat_i,P) = $y=\sqrt{(x_i-x)^2 + (y_i-y)^2 + (z_i-z)^2}$

    • Mais ces distances, a priori nous ne les connaissons pas. On peut néanmoins déterminer
      cette distance en sachant le temps ∆t_i que prend le signal pour aller du satellite i au GPS et en le
      multipliant par la vitesse de la lumière, c.

• D’où : d(Sat_i,P) = $y=\sqrt{(x_i-x)^2 + (y_i-y)^2 + (z_i-z)^2}$ = c∆t_i, i = 1, 2, 3.

    • On a donc un système de trois équations à trois inconnues, qui aura comme solution deux valeurs,
      dont une seulement sera approximativement sur la surface de la Terre. (Approximativement,
      car nous sommes peut-être sur une montagne.) Ce sera notre position P cherchée.

• Mais, attention ! Comment déterminer le temps que prend le signal pour aller du satellite à notre GPS ?

    • Si les satellites et le GPS avaient des horloges parfaitement synchronisées, chaque satellite pourrait
      simplement envoyer au GPS l’heure de l’envoi. Le GPS n’aurait alors qu’à soustraire cette heure de
      l’heure à laquelle il reçoit cette information, et le tout serait joué.

    • En réalité, les satellites ont des horloges synchronisées, mais ce n’est pas le cas du GPS. L’idée est
      de considérer comme une inconnue l’erreur de synchronisation s, dont la valeur peut être positive
      ou négative, entre les horloges des satellites (qui sont entre elles bien synchronisées) et l’horloge
      du GPS. Mais, en introduisant cette quatrième inconnue, nous avons besoin d’une quatrième
      équation. Où la trouver ?

• Il suffit qu’un quatrième satellite soit « visible » par le GPS. On a alors, pour chaque satellite i :

d(Sat_i,P) = $y=\sqrt{(x_i-x)^2 + (y_i-y)^2 + (z_i-z)^2}$ = c(∆t_i+s), i = 1, 2, 3, 4.

Nous avons donc un système de quatre équations dont les inconnues sont x, y, z et s.

Tout cela est bien beau, mais comment résoudre ce système d’équations, non linéaires ?

Nous avons résolu le problème du calcul de notre position par un GPS dans une version simplifiée (admettons-le). Plusieurs autres facteurs peuvent dans la réalité influencer le système GPS-satellites. Ainsi, pour plus de précision, on doit tenir compte des effets relativistes dus à la vitesse des satellites.

Si cela vous intéresse, voyez les sites ci-dessous :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System

http://reperageterrestre.free.fr/principe.html

http://lpc2e.cnrs-orleans.fr/~ddwit/gps/cours-GPS.pdf

Vous pouvez aussi consulter le chapitre du livre de Christiane Rousseau et Yves Saint-Aubin, Mathématiques et technologie, New York : Springer, 2008. Pour plus d'informations, cliquez ici.

Le théorème de Pythagore comme vous ne l’avez jamais vu

Les systèmes de positionnement pas satellites (GPS)

Quelques explications...