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prof. Louis Charbonneau |
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La trigonométrie (1)Les systèmes du monde |
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La trigonométrieUne ligne du temps
(par Claude Marsollais)
Les systèmes du monde
Avant les GrecsLes modèles grecs
Le modèle de Ptolémée(voir les notes de FSM 3000 (format pdf, 420 kb)) Sauf mention contraire, dans cette section, toutes les
figures proviennent de
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En examinant quotidiennement la voûte étoilée, on remarque 7 'étoiles' qui changent progressivement de position par rapport aux autres étoiles fixes. Ces 'étoiles' sont le Soleil, la Lune, Mercure, Vénus, Mars, Jupiter, Saturne.
Les planètes ne s'éloignent jamais de plus de 8° de l'écliptique (zodiaque).
Chaque planète parcourt le zodiaque en entier en un temps qui lui est propre. L'intervalle de temps mis par une planète pour revenir à une position donnée varie d'une fois à l'autre de façon presque imprévisible. Par ailleurs, la moyenne de ces intervalles de temps (temps de translation) est constante (Exemple : En moyenne, la lune revient à un même point du zodiaque tous les 29 1/3 jours, mais le temps entre chaque retour peut varier jusqu'à 7h. de cette moyenne en plus ou moins).
Mercure et Vénus ne s'éloignent jamais beaucoup du Soleil.
Les mouvements apparents des planètes, sauf ceux du Soleil et de la Lune, sont entachés d'une autre irrégularité, la rétrogradation.
a) Les rétrogradations se font à des intervalles à peu près réguliers, mais pas toujours aux mêmes endroits dans le ciel.
b) Pour les planètes Mars, Jupiter et Saturne, elles se font lorsque
i) la planète est en opposition avec le Soleil (donc la planète, la Terre et le Soleil sont alignés, dans cet ordre),
ii) l'intensité lumineuse de la planète est alors à son maximum. Donc on peut croire qu'elle est plus près de la Terre qu'à d'autres moments.
1-Les étoiles sont placées sur la sphère extérieure. Celle-ci fait un tour complet en 24 heures environ.
2- Le Soleil se déplace entre la sphère des étoiles et la Terre (elle-même une petite sphère au centre de la sphère des étoiles). Vu de la Terre, le Soleil est perçu comme étant sur la sphère des étoiles.
3-L'image du Soleil sur le fond étoilé décrit en un an un grand cercle. Ce cercle est l'écliptique. Il fait un angle de 23 1/2° avec l'équateur de la sphère des étoiles.
(a) Mouvement du Soleil à une latitude moyenne
(b) Mouvement du Soleil à l'équateur
(c) Mouvement du Soleil au Pôle Nord
1523 : Raymond Lull, Practica compendiosa
artis.
Hugh Kearney, Science and Change, 1500-1700, New York :
McGraw-Hill, p. 31.
Nous croyons que le but que l'astronome doit s'efforcer d'atteindre est le suivant : démontrer que tous les phénomènes du ciel sont produits par des mouvements circulaires et uniformes. (... ) Nous étant fixé la tâche de prouver que les irrégularités apparentes des cinq planètes, du Soleil et de la Lune peuvent être toutes représentées au moyen de mouvements circulaires uniformes, parce que seuls ces mouvements sont appropriés à leur nature divine... nous sommes en droit de regarder l'accomplissement de cette tâche comme le but ultime de la science mathématique basée sur la philosophie.
a) Intervalle entre les rétrogradations
Voir les figures précédentes b) pour l'avant dernière, et a) pour celle ci-dessus. Le système reproduit par lui-même le phénomène de rétrogradation. Toutefois, selon le système, le temps entre les rétrogradations est toujours le même. Le temps et la position entre deux rétrogradations sont déterminés par le rapport des vitesses de rotation de l'épicycle et du déférent. L'étalement de la rétrogradation est fonction du rapport des rayons du déférent et de l'épicycle.
b) Particularités pour les planètes Mars, Jupiter et Saturne:
i) Pour qu'au moment de la rétrogradation la planète soit nécessairement en opposition avec le Soleil, il faut imposer des contraintes aux paramètres de la planète.
ii) En choisissant adéquatement le sens de rotation de l'épicycle par rapport au sens de rotation du déférent, les boucles de l'orbite se font vers le centre du déférent, en l'occurrence la Terre. Alors, l'intensité lumineuse de la planète devrait sembler plus intense vue de la Terre. Dans la figure 19, si l'épicycle tournait dans l'autre sens, les boucles se feraient vers l'extérieur.
a) Comme nous l'avons dit ci-dessus, selon le système, les intervalles de temps entre les rétrogradations devraient être égaux. Ce n'est pas le cas en réalité.
b) En réalité, les planètes inférieures n'atteignent pas toujours la déviation maximale prévue par le système. (Voir la figure 21 a).
c) Le temps pris par le Soleil pour aller d'un équinoxe à l'autre (équinoxe: moment où le Soleil est à l'un des points communs à l'équateur céleste et à l'écliptique. Il y a deux équinoxes: l'équinoxe du printemps, l'équinoxe d'automne). La vitesse angulaire du Soleil est légèrement plus rapide en automne et en hiver qu'au printemps et en été. Autrement dit, le temps pris par le Soleil pour aller de l'équinoxe d'automne à l'équinoxe du printemps est moins long que celui pris pour aller de l'équinoxe du printemps à l'équinoxe d'automne. Or, puisque le Soleil n'a pas de rétrogradation, il ne devrait pas avoir besoin d'un épicycle. Dans ce cas les temps entre les équinoxes devraient être rigoureusement égaux.
Le système de Copernic
i) mouvement diurne : rotation autour de son axe en une journée,
ii) translation: mouvement annuel autour du Soleil,
iii) mouvement annuel de rotation de l'axe de la Terre ( voir la figure 31 b).
Figure 31
a) Intervalle entre les rétrogradationsComme pour le système de Ptolémée, le système de Copernique reproduit par lui-même le phénomène de rétrogradation. Toutefois, alors que Ptolémée avait dû introduire un élément particulier, les épicycles, pour que le système génère les rétrogradations, Copernique n'a qu'à laisser fonctionner son système pour que les rétrogradations se produisent. (Voir la figure 32) Qu’en est-il du temps prévu entre chaque rétrogradation ? Est-il rigoureusement le même ? Oui.
Figure 32
b) Particularités pour les planètes Mars, Jupiter et Saturne:
i) Dans le système, la rétrogradation se produit nécessairement au moment où la Terre et la planète sont le plus proche. Puisque les orbites sont des cercles concentriques, la distance minimum entre deux points de ces cercles est celle qui correspondant au segment du rayon du cercle extérieur qui se trouve entre les deux cercles. [C’est le moment où les directions instantanées des deux planètes sont parallèles.] (Voir la figure 32)
ii) On a indiqué, en i), que la rétrogradation se produisait précisément lorsque la Terre se trouvait le plus près de la planète. La planète apparaît alors, vue de la Terre, plus lumineuse qu'en tout autre temps.
iii- Mouvements non décrits par le système copernicien
a) Les intervalles de temps entre les rétrogradations devraient être égaux selon le système de Copernique. Ce n’est pas le cas en réalité. Par rapport à cette irrégularité, le système de Copernique n'est donc pas supérieur à celui de Ptolémée.
b) Selon le système de Copernique, les planètes inférieures devraient toujours atteindre leur déviation maximale par rapport au Soleil. Encore là, en réalité, les planètes n’atteignent pas toujours leur déviation maximale.
c) Le temps pris par le Soleil pour aller de l’équinoxe d’automne à l’équinoxe du printemps est moins long que celui pris pour aller de l’équinoxe du printemps à l’équinoxe d’automne. La Terre tournant sur un cercle centré au Soleil, le système ne reproduit pas cette inégalité.
iv- Mécanismes correctifs.
Les mêmes que ceux utilisés par Ptolémée. (Voir les figures 34)
Figure 34
Le modèle de Copernic
Le modèle de Ptolémée
v- Système de Copernique versus système de Ptolémée
Le système de Copernique reproduit avec beaucoup d’économie les phénomènes de rétrogradation et ses caractéristiques (luminosité, opposition avec le Soleil). Le fait que les planètes Mercure et Vénus soient toujours en apparence près du Soleil découle aussi de la configuration du système. Par ailleurs, la translation de Vénus autour du Soleil a pour conséquence que Vénus devrait avoir, comme la Lune, des phases lorsque vue de la Terre.
Dans le système copernicien, le temps entre deux rétrogradations permet de calculer l'année planétaire.
Dans le système de Copernique, il est possible de calculer la distance entre une planète et le Soleil. (Voir la figure 36.) Dans le système de Ptolémée, il n’y a pas moyen de faire un tel type de calcul.
Figure 36
Ce sont là des avantages du système copernicien. Mais ces avantages sont plus qualitatifs que quantitatifs. Lorsqu’il s’agit d’ajuster les prédictions du système aux observations, les mêmes problèmes que ceux rencontrés par Ptolémée se manifestent. Copernique n’a alors pas d’autres choix que d’utiliser les artifices mis au point par Ptolémée (comme de petits épicycles additionnels). De fait, le système complet de Copernique comporte 48 cercles alors que celui de Ptolémée n’en comporte que 40. Au niveau des principes, le système héliocentrique est nettement plus simple que le système géocentrique. Au niveau des calculs toutefois, cette économie s’évapore dans les tentatives d’ajuster le système aux observations.
N’oublions pas une différence majeure entre les deux systèmes. Alors que dans le système de Ptolémée la sphère des étoiles occupe un espace relativement limité, dans celui de Copernique elle est nécessairement très grande par rapport à l'orbite de la Terre.
Nous avons signalé, au début de cette section 3.2.1, quelques difficultés qu’engendre la cosmologie copernicienne pour les tenants de la cosmologie d’Aristote. Copernique montre donc une certaine indépendance d’esprit. Toutefois, il ne peut renier complètement l’époque dans laquelle il vit. De fait, des influences aristotéliciennes et néoplatoniciennes sont nettement décelables chez lui.
Ainsi, pour contrer Aristote , Copernique argumente de façon aristotélicienne.
a) Les objets tombent sur la Terre (et non au centre de l’univers où est le Soleil) parce que les objets ont par nature tendance à former des corps parfaits.
b) Les objets lancés vers le haut retombent à la même place que celle d’où ils ont été lancés parce que la rotation est un mouvement naturel. Un objet lancé continue donc, une fois laissé à lui-même, à se mouvoir suivant le mouvement naturel de rotation de la Terre. De plus, les vents que prévoit Aristote dans l’éventualité d’un mouvement de rotation de la Terre ne sauraient se produire car l’air qui entoure la Terre contient aussi de la terre et de l’eau. L’air est donc mis en mouvement par le mouvement naturel de la terre. Le mouvement circulaire naturel de la Terre devient donc un mouvement naturel pour l’air.
Par ailleurs, nous pouvons percevoir une référence directe au mouvement néoplatonicien dans un texte de Copernique. (Voir le texte) De fait, la référence à Trimegiste suggère aussi un public auquel le livre s’adresse. Tout ce texte est d’inspiration néoplatonicienne. Certes Platon lui-même avait placé la Terre au centre de l’univers et avait attribué à celle-ci une nature différente de celle des astres célestes. Mais les néoplatoniciens de la Renaissance retiennent principalement, dans la foulée des pères de l’Église, que le monde céleste, monde divin, agit sur nous. L’action du Soleil est primordiale à la vie sur la Terre. Le Soleil joue un rôle unique pour les planètes: 1) les planètes inférieures ne s’en éloignent en apparence jamais, 2) lors de leurs rétrogradations, les planètes supérieures sont en opposition avec le Soleil. Comment alors ne pas lui donner une place spéciale, centrale, dans l’univers?
Le nouveau système intrigue les contemporains de Copernique. Sur le plan qualitatif, il est plus économique que celui de Ptolémée. Mais, sur le plan des calculs, il n’est pas plus efficace, ni plus conforme aux observations. Toutefois, il plaît aux néoplatoniciens et en particulier à celui qui est le plus néoplatonicien de tous, Kepler.
Le modèle de Tycho Brahé
Figure 37