La trigonométrie après les Grecs
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La mouvance numérique : L'Inde
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La corde est délaissée pour être remplacée par le sinus
et origine du mot sinus
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Première table de cosinus, aussi peut-être tangente et
sécante.
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L'approximation plutôt qu'une plus grande précision des
tables.
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Détails sur l'Inde et la Chine :
- Écrit en 499, alors que l'auteur a 33
ans.
- Il écrit souvent simplement Jya ou Jiva
au lieu de jya-ardha (corde-demi)
- 33 énoncés mathématiques sur 123 dans le
livre.
- Calcul de la table, par sauts de 3°45'
(la moitié du saut de 7°1/2 d'Hipparque)
Stenza I-10 Les vingt-quatre
demi-arc [différences] calculées en minutes d'arc
sont 225, 224, 222, 219, 215, 210, 205, 199, 191,
183, 174, 164, 154, 143, 131, 119, 106, 93, 79, 65,
51, 37, 22, 7
Stenza II-12 De combien la
deuxième [différence des ] sinus est moins que le
premier et par le quotient obtenu en divisant la
somme des [différences] des sinus précédentes par le
premier sinus, par la somme de ces deux quantités la
[différence] des sinus suivants sont moins que le
premier sinus.
Formule sous-jacente à ce dernier
énoncé :
sn = sn-1 + (s1
- (s1 + ... + sn-1)/s1)
On peut penser que les tables ont été
calculées un peu comme celle d'Hipparque et que
cette méthode en a été déduite. On peut retrouver ce
genre de formule en remarquant que la seconde
différence est proportionnelle à la valeur du sinus
(coefficient de proportionnalité : 225, le s1.
En effet, on a alors d2si = si/s1.
Or dsn-1 = s1
- d2s1 - d2s2 - ...
- d2sn-1, en remarquant que ds1
= s1.
- Remarquez l'approche
purement numérique
- Le sinus est vu ici, et
jusqu'au début XVIIe siècle, d'abord comme un segment dans
un cercle.
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Origine du mot sinus
Aryabhata écrit souvent simplement Jya ou
Jiva au lieu de jya-ardha (corde-demi). Lorsque les
Arabes traduiront les textes indiens, il utiliseront à
nouveau le terme indien courant Jiva, qui ne veut par
ailleurs rien dire en arabe. Toutefois, en arabe, on
n'écrit souvent que les consonnes. Dès lors, le mot Jiva
va s,écrire Jb et sera lu plutôt comme Jaïb, qui
signifie poitrine ou col. Lors de la traduction en latin
des livres arabes, les Européens emploieront le mot
sinus qui veut précisément dire poitrine, col, ou baie.
On rencontre le mot Sinus sur les cartes géographiques
de la Renaissance et du XVIIe siècle pour les baies
(Sinus Mexicanus par exemple sur des globes terrestres
anciens du Musée Stewart de l'Ile St-Hélène)
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Tables de sinus et cosinus (demi-corde perpendiculaire)
- Par Varahamihira (6e siècle)
- Dans le Surya-siddhanta (7e
siècle)
- Indice de l'utilisation de la
sécante (1/cos) et de la tangente (sin/cos) dans
l'étude des ombres.
- Les tables ne deviennent pas plus
précises jusqu'au 12e siècle, donc besoin
d'approximations
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L'importance des tables de sinus dans
l'histoire de la numération indienne
(B.L. van der Waerden, Science Awakening, New York
: Oxford Un. Press, 1961, pp. 53-58.)
L'invention de la numération positionnelle
indienne date probablement de vers 600. D'abord utilisée
par les astronomes puis, après de nombreuses années, par
les gens ordinaires.
Les nombres poétiques : la mémorisation des
tables de sinus.
Vers 500, pour apprendre les tables de
sinus, les astronomes associaient à chaque chiffre un mot
qui le rappelait (ex. 1 : lune, bouche; 2: ailes,
oreilles, yeux; 0: trou; etc.) de façon à transformer les
tables en poèmes rimés. On rencontre cela dans le Surya-siddhanta
(7e siècle) mentionné ci-dessus.
Aryabhata avait développé un système de
syllabes qui exprimait à la fois les chiffres et l'ordre
de grandeur de ce dernier (ex. ca voulait dire 6 unités
(le a indiquant les unités ou les dizaines, le c
signifiant 6), gi signifie 3 centaines (g: 3, i:
centaines) etc.)
ainsi cayagiyinusuchlr signifie 63335775 (du plus petit au
plus grand de gauche à droite), pour nous : 57753336.
Son disciple Bhaskara simplifie en enlevant
les lettres pour les ordres de grandeurs. Il utilise un
zéro. C'est un système positionnel.
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Méthodes d'approximation
- Brahmagupta (598-670), vers 650
- Bhaskara (600-680 ??)
- Ces règles et leur utilisation plutôt
que la recherche de tables plus précises, montre
l'importance de la tradition dans l'usage des modes de
calculs.
- Cela me fait aussi penser à Ramanujan
(1887-1920), le génial calculateur ami de Hardy.
- Illustre aussi ce qui se passe lorsqu'il
n'y a pas de recherche systématique de démonstrations.
La trigonométrie en Chine
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Liu Hui (3e siècle)
- Manuel mathématiques sur les îles en
mer.(9 problème d'arpentage)
- Premier problème à propos d'une île, sa
distance et la hauteur du sommet.
- Quatrième problème : la profondeur et la
distance d'un point dans une vallée. (Présence implicite
de la tangente)
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Chutan Hsita (718) Neuf planètes
(Ouvrage sur les éclipses)
- Table de sinus par sauts de 3°45'.
Influence indienne sans doute, car des bouddhistes indiens
sont en Chine et amène avec eux les connaissances
indiennes.
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Yi Xing (683-727)
- 724 : étude par l'empire des ombres d'un
gnomon de 8', entre le 29° et 52° de latitude, le long d'un
méridien (114° est)
- Table d'ombres de 1°à 79° d'angle zénithal.
s(a) =8tan(a) = 8 (sin(a)/sin(90-a) (première table des
tangentes, par les tables de sinus)
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La mouvance géométrico-numérique : les Arabes
- Source religieuse de l'intérêt pour les
calculs trigonométriques
- La qibla (orientation vers La Mecque)
- La détermination de l'heure des cinq
prières quotidiennes
- Définition de toutes les « fonctions
»trigonométriques
- cosinus : al-Battani (v. 855-929)
utilise le complément à 90° du sinus d'un angle de
moins de 90°. Pour les angles plus grand, il utilise
le versinus(a) = R + Rsin(a-90°). Remarquons
que cela remplace nos négatifs dans ce cas.
- Les quatre autres « fonctions »
Chez al-Hasib (v. 770-870) et surtout
al-Biruni (973--1055), ces fonctions sont définies en
termes de l'ombre d'un bâton d'une longueur donnée :
ombre directe (cotangente) GE
hypoténuse de l'ombre directe
(cosécante) BE
|
|
ombre renversée (tangente) GE
hypoténuse
de l'ombre renversée (sécante) BE
|
|
À partir de là on a aussi directement
les formules reliant ces fonctions:
cot2(a) + 1 = csc2(a)
tan2(a) + 1 = sec2(a)
tan(a) = sin(a) /cos(a). Notez
que c'est une identité ici et non une définition.
- Vers l'utilisation dans la mesure :
Jal-Qabisi (10e siècle)
Calcul de la hauteur à partir de deux positions.
x = y sin(90°-a)/sin(a)
y (à vous de le calculer)
|
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- Précision accrue des tables : al-Kashi (né
429)
- calcul à quatre positions sexagésimales
en remarquant que sin(1°) satisfait l'équation
3x + 4x3 = sin(3°). il trouve que 60sin(1°) =
3;8, 24, 33, 59, 34, 28, 15.
- Amélioration de la trigonométrie sphérique
car nécessaire pour résoudre la qibla et le problème des
prières quotidiennes.
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Vers la trigonométrie du Triangle : l'Europe du Moyen Âge et
de la Renaissance
- Remarque : première traduction de
l'Alamageste de Ptolémée :
1175, puis des livres arabes.
- Premières manifestations de la mesure :
les secteurs de cercle
- Abraham bar Hiyya (mort 1136)
Table d'arcs de corde
(arcsin) : R = 14 (pour C = 88 avec pi= 22/7) pour
pouvoir mesurer des secteurs de cercle connaissant la
longueur de la corde s et la distance maximale h de la
corde à l'arc, selon la méthode suivante :
- diamètre = d = s2/4h + h
- calculer s x 28/diamètre, pour pouvoir utiliser la
table
- utiliser la table pour trouver la longueur de l'arc
- arc trouvé x d/28, pour revenir dans notre cercle
- le secteur a pour aire (d x arc)/4.
- Leonard de Pise (Fibonacci)
(1175-1240)
Table de corde
dans son Practica Geometriae (1220), R = 21 (C
= 66)
- Deuxième manifestation de la mesure : les
rapports
Hugues de St-Vicor (1096-1141)
Introduction de l'alidade sur l'astrolabe
(illustration provenant de Oxford museum of Science:
http://www.mhs.ox.ac.uk/).
La mesure r nous donne le rapport de la
hauteur de l'objet visé à la distance de cet objet.
Dès lors, pour calculer la distance d'un
objet à partir de deux mesure avec l'astrolabe, il suffit
d'utiliser la règle suivante
x = d/((r1/r2)-1)
- L'héritage gréco-arabe au Moyen Âge
- Richard de Wallingford (1291-1336), un
moine anglais
Reprend Ptolémée, mais à la Euclide,
avec un intérêt pour les rapport et l'utilisation du
sinus surtout, et non seulement la corde.
- Levi ben Gerson (1288-1344) un juif
français
Dans son traité de philosophie Sefer
Milhanot Adonai (Les guerres du Seigneur), il
systématise la résolution des triangles plans et
énonce clairement les lois du sinus et du cosinus.
Tout cela pour un usage en astronomie.
- Les grands explorateurs : importance
accrue des calculs
Besoin de déterminer la latitude et la
longitude d'un bateau. Déterminer la longitude est
particulièrement difficile. La latitude est déterminé par
l'élévation du pôle (étoile polaire) au-dessus de
l'horizon.
- La naissance de la trigonométrie du
triangle
- Regiomontanus (Johannes Muller de
Kömigsberg (1436-1476) )
De triangulis omnimudis
(1464), un livre très influent.
- Notion de grandeur et de rapport
- Table du sinus, R = 60 000
- Distingue clairement la
trigonométrie dans un triangle plan et la
trigonométrie sphérique.
- Utilisation de l'algèbre dans
quelques problèmes.
- Par la suite, tables où R = 60 x 10n
ou R = 10n à cause de l'absence de fraction
s décimales.
- Le passage au triangle rectangle
- Georg Joachim Rheticus (1514-1574)
le disciple de Copernic.
Il introduit les noms sinus et
cosinus et les voit dans un triangle rectangle
d'hypoténuse donnée, très grande (donc pas
vraiment encore rapport).
- Thomas Finck (1561-1656),
introduit en 1583 les termes tangente et sécante,
et complément de sinus, complément de tangente et
complément de sécante.
- La trigonométrie acquiert son nom : B.
Pitiscus(1561-1613) Trigonometriae sive, de
dimnesione triangulis, Liber (1595)
- Calcul des hauteurs avec un
quadrant
(Illustration : Oxford Museum of History of
Sciences : http://www.mhs.ox.ac.uk/).
Deux méthodes
1) BC/AC = sin(90° -a)/sin(a)
2) Par la table des ombres
(tangentes dans un triangle dont la base est 100
000)
AC/100 000 = BC/tan(90°-a)
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Vers de véritables fonctions trigonométriques
- 1614 : Napier et les logarithmes, pour le
calcul avec les sinus, pour chaque minute :
angle
|
sin(a)
|
log sin(a)
|
log tan(a)
|
log sin(90°-a)
|
cos(a)
|
90°-a
|
34° 40'
|
5688011
|
5642242
|
3687872
|
1954370
|
8224751
|
55°20'
|
- 1637 : Roberval trace, dans son étude de
la cycloïde, la courbe d'équation y = a(1-cos(x/a)) et y =
sin(x)
- 1657 Pascal, Traité du sinus du cercle,
calcul l'aire sous la courbe rsin(x)
- 1668 James Gregory (1638-1675) développe
la fonction arcsin (x) en une série. (Résultat connu en
Inde en 1530)
- 1693 Leibniz caractrise le sinus par d2y/dx2
= -y.
- !730-1748 : Euler, le véritable inventeur
des fonctions trigonométriques. Le cercle de rayon 1
devint la norme en trigonométrie.
- 1807 Fourier utilise les séries
trigonométriques pour représenter des fonctions.
- Au cours du siècle : définition
d'ensembles, étude de l'intégrale comme une mesure de
surface, notion générale de fonction.
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Le radian :
- Première fois par James T. Thomson en 1873
dans un examen. Première publication vraiment publique en
1874, Alexander J. Ellis, Algebra Identified with
Geometry.
- Le terme radian n'a pas été utilisétout de
suite. Plutôt on employait radial, ou pi-measure, un
circulaire.
- Le but de l'utilisation d'une nouvelle
mesure : simplifier les calculs, spécialement en calcul
différentiel et intégral des fonctions trigonométriques et
pour les calcul de vitesses et d'accélération de
mouvements curviligne. (Un exercice pour vous faire penser
: calculer la dérivée de la fonction sinus défini pour un
angle mesuré en degrés et non en radians. De même,
calculer la limite du rapport de sin(x) /x, si x est en
degrés.)
-
Quelques considérations didactiques sur
l'histoire de la trigonométrie.
- Pour le sinus et le cosinus, passer
d'abord par le triangle rectangle n'est pas nécessaire a
priori. D'ailleurs, l'approche directement par le cercle
enlève la difficulté de traiter du sinus de 90° ou de 0°
par exemple.
- Le fait de commencer par la trigonométrie
du triangle dans l'enseignement oblige, lorsque l'on passe
à la trigonométrie du cercle, à étendre la nation de
sinus, et des autres rapports trigonométriques, à des
angles plus grands que 90°. Historiquement, ce qu'on a
fait ce n'est pas d'étendre ces notions mais bien de
restreindre au triangle ce que l'on faisait dans le
cercle. Mathématiquement, c'est plus simple de restreindre
que d'étendre.
- La notion de « fonction trigonométrique »
a précédé celle de « rapport trigonométrique ». cela a été
possible par l'usage des tables de valeurs.
- Ces tables ont aussi permis l'utilisation
des « fonctions inverses ».
- La trigonométrie n'est pas nécessaire pour
résoudre la très grande majorité des problèmes pratiques
d'arpentage ou de mesure. On peut éviter la trigonométrie
par l'emploi des similitudes.
- On peut travailler avec les fonctions
trigonométriques sans utiliser les radians.
- Hipparque : de l'arc au rayon
- Ptolémée : indépendance du rayon et de
l'arc (R = 60 et arc mesuré en degrés (°))
- Euler : indépendance du rayon et de
l'arc ((R = 1, arc en degrés)
- Radians : du rayon à l'arc. Mais
sait-on ce qu'est un radian ?
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