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Passage des
sections coniques aux lieux géométriques
Étant donné une
section de cône, comment passer au lieu
géométrique correspondant ? Dans
le cas de l'ellipse, par exemple, ceci nécessite tout
d'abord de
trouver les foyers F1 et F2
ainsi que la constante c, pour ensuite vérifier la
propriété
caractéristique d'une ellipse en tant que lieu
géométrique : un point P
est sur la courbe si et seulement distance(P,F1)
+ distance(P,F2) = c.
Le
mathématicien français Pierre Dandelin nous a
légué
une élégante approche
géométrique pour résoudre ce
problème. Elle repose sur l'utilisation de deux
sphères, dites sphères
de Dandelin, qui sont tangentes à la fois au cône
et au plan secant
(voir la figure Cabri 3D ci-dessous). Les foyers cherchés
seront en
fait les points de contacts des deux sphères avec le plan
tangent,
tandis que la constante c sera égale à la
distante entre les deux
cercles de tangence entre les sphères et le cône.
Comment
manipuler les éléments de la figure ?
- On
peut saisir et faire glisser le point P le long de la
conique.
- On
peut faire tourner la figure complète par un
glissé utilisant le bouton
droit de la souris.
(Pour Macintosh
muni d'une souris à un seul bouton,
un glissé utilisant le bouton gauche et
accompagné d'une
pression sur la touche de contrôle fait aussi
l'affaire.)
- On
peut faire
varier le cône et le plan en saisissant et en faisant
glisser
un des
points suivants:
- le sommet S0
(pour varier sa position)
- les points distincts de
P sur la conique (pour varier l'ouverture du cône
ainsi que
l'inclinaison du plan).
On remarque
alors que:
- distance(P,M1)
= distance(P,F1) et
distance(P,M2) = distance(P,F2)
[Pourquoi ?]
- distance(P,M1)
+ distance(P,M2) = constante
[Pourquoi ?]
- d'où l'on a que distance(P,F1)
+ distance(P,F2) = constante.
Appendice
technologique
La figure Cabri 3D ci-dessus est, en fait, une image
: un clic sur celle-ci permet de télécharger ladite figure.
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