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Les lieux
géométriques : ellipses et hyperboles
On peut définir une ellipse en tant que lieu
géométrique comme suit. Dans un plan
donné, nous avons besoin de deux
points F1 et F2 (qui
seront appelés les foyers de l'effipse) et aussi d'un nombre
c
qui est supérieur à la distance entre les deux
foyers. L'ellipse sera
la courbe formée par l'ensemble de tous les points P du plan
vérifiant
la propriété suivante:
distance(P,F1)
+ distance(P,F2) = c.
Cette
situation est représentée dynamiquement par la
figure Cabri
ci-dessous,
où les deux distances aux foyers sont
représentées par des segments et
où le nombre c
correspond au rayon du cercle pâle (dont on ne voit
initialement qu'un
arc).
Via la souris, on peut
déplacer
les foyers et modifier le rayon du cercle. Par contre, on
ne peut
déplacer directement le point P sur la conique: il faut
agir
par
l'intermédiaire du point Q sur le cercle pâle. On
constate alors que le
point P se trouve toujours à l'intersection de la conique
et
de la
demi-droite issue de F1 et passant
par Q.
Que ce soit en
déplaçant le foyer F2
ou en changeant le rayon du cercle pâle, si le second
foyer
vient à
sortir du cercle pâle, l'ellipse semble se transformer en
hyperbole : on
peut en effet vérifier que
| distance(P,F1)
- distance(P,F2) |
= c
puisque, par construction de
la figure Cabri,
on a toujours
distance(P,Q) =
distance(P,F2).
Appendice
technologique
La figure Cabri a été remplacée par une figure GeoGebra. |