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Passage des sections coniques aux lieux géométriques
Étant donné une section de cône, comment passer au lieu
géométrique correspondant ? Dans le cas de l'ellipse, par
exemple, ceci nécessite tout d'abord de trouver les foyers F1
et F2 ainsi que la constante c, pour ensuite
vérifier la propriété caractéristique d'une ellipse en
tant que lieu géométrique : un point P est sur la courbe si
et seulement distance(P,F1) + distance(P,F2)
= c.
Le mathématicien belge Pierre Dandelin nous a légué
une élégante approche géométrique pour résoudre
ce problème. Elle repose sur l'utilisation de deux sphères,
dites sphères de Dandelin, qui sont tangentes à la fois au
cône et au plan secant (voir la figure GeoGebra 3D ci-dessous).
Les foyers cherchés seront en fait les points de contacts
des deux sphères avec le plan tangent, tandis que la
constante c sera égale à la distante entre les deux cercles
de tangence entre les sphères et le cône.
Comment manipuler les éléments de la figure ?
- On peut saisir et faire glisser le point W le long de
la conique.
- On peut faire tourner la figure complète par un glissé
utilisant le bouton droit de la souris.
- On peut faire varier le cône et le plan en saisissant
et en faisant glisser un des points suivants:
- les points P et Q du plan, pour varier la position
(et l'inclinaison) de celui-ci
- le point G de la génératrice du cône, pour varier
l'ouverture de celui-ci.
On remarque alors que:
- distance(W , M1) = distance(W , F1)
et distance(W , M2) = distance(W
, F2) [Pourquoi ?]
- distance(W , M1) + distance(W , M2)
= constante [Pourquoi ?]
- d'où l'on a que distance(W , F1)
+ distance(W , F2) = constante.
Appendice technologique
La figure Cabri 3D a été remplacée par une figure
GeoGebra.
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