Du nombre et de la géométrie
(Chapitres trois et quatre de Mankiesicz)
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Deux exemples tirés du quotidien
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D'où vient que le cercle est divisé en
360º ?
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D'où vient que la journée est divisée en
24 heures ?
Voir l'article en format pdf ici
(230 Kb)
Dans ces deux cas, il y a passage du
numérque au géométrique. Notez aussi le rôle
"homogénéisant" de la vision géométrique de notre
environnement.
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L'aire du cercle chez les Égyptiens
Pour calculer l'aire, soustrais au
diamètre son neuvième et élève ce que tu obtiens au
carré
Commnet a-t-on trouver une telle méthode
?
(Katz, V., history of Mathematics, Addison-Wesley,
1998, p. 21)
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Les Babylonniens aiment les constantes : 0;30
et 0;5 !
L'air du cercle : Calcule le produit de la
moitié du diamètre par la moitié de la circonférence
ou
(Katz, V., History of Mathematics,
Addison-Wesley, 1998, p. 22)
La géométrie en Grèce
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La vision grecque du monde
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Vision cyclique de l'histoire
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La discussion et le combat
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Dévalorisation de la pratique
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Pythagore
de Samos (582-497 ???), l'élève de Thalès
de Milet (624-548 av. notre ère)
(Pour la section sur Pythagore et celle sur Platon et Aristote
: un texte
en format pdf (421 kb). Ce texte sera utile pour les questions
d'astronomie que nous verrons lors des cours sur la
trigonométrie)
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Tout est nombre.
Le quadrivium (arithmétique, harmonie, géométrie,
astronomie)
Le vocabulaire pythagoricien aujourd'hui :
Médecine : ton, tonique, tonus, tempérament
Religion : théorie
Arithmétique : "figure" (en anglais)
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Les nombres polygonaux, premières démonstrations ?
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Découverte des irrationnels : la débandade des
pythagoriciens.
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Peut-on mesurer un angle ?
(Section basée sur un article dans le Bulletin AMQ,
mars 1987, pp. 5-6 et 46: format pdf ici
(280 Kb) )
Première mesure d'angles : confusion de l'espace et du
temps, astronomie.
Angle figure : Classification des angles (avant Euclide...
et après, Pappus (env. 300 de notre ère))
Difficultés relatives à l'angle corniculaire : il n'est pas
archimédien.
Angle comme une brisure
Une démonstration d'Aristote
:Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux.
(Isocèle : du grec iso (égal) et skelos (jambes) )
Angle comme inclinaison de deux lignes
Euclide
(v. 300 av. notre ère) : Éléments, livre 1, déf. 8 et 9
Définition 8 : Un angle plan est l'inclinaison mutuelle de
deux lignes qui se touchent dans un plan, et qui ne sont point
placées dans la mêmee direction.
Définition 9 : Lorsque les lignes, qui comprennent ledit
angle, sont des droites, l'angle se nomme rectiligne.
N.B. Un "angle" de 180º n'est pas un angle (cf. déf. 8) selon
Euclide.
Angle comme une rotation
Möbius
en 1846
Angle comme un ensemble de demi-droites
David
Hilbert en 1899 : Soient h et k deux demi-droites
différentes d'un plan A, issues d'un point O et appartenant à
des droites différentes. L'ensemble des demi-droites h et k est
appelé un angle.
Donc, définir un concept, en apparence aussi simple que
l'angle, pose problème !
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Vers Euclide
:
Platon
(427-347 av. notre ère) et son élève rebèle Aristote
(384-382 av. notre ère), le précepteur d'Alexandre le Grand
(356-323 av. notre ère)
(Pour la section sur Pythagore et celle sur Platon et Aristote
: un texte
en format pdf (421 kb). Ce texte sera utile pour les questions
d'astronomie que nous verrons lors des cours sur la
trigonométrie)
Platon
: L'Académie (fondée en -387, fermée en 529 par l'empereur
byzantin Justinien)
Le monde des idées (ou des formes), théorie de la
réminiscence.
Aristote
: l'expérience, l'homme crée ses idées.
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Euclide
(vers 300 de notre ère)
.
Tiré de l'article de Bernard Vitrac, Les
treize Livres d'Euclide, dans Les Cahiers de Science
& Vie, Mathématiques, Ce que les Grecs ont
vraiment inventé, no 55, Février 2000, p. 50 à 56.
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Les définitions, axiomes (Notions
communes) et postulats (Demandes) :
Télécharger ici
(495 Kb) le fichier pdf contenant les définitions,
axiomes et postulats, et les premières propositions et
le début du livre V et du livre XII.
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Le livre I
Proposition 1 Sur une droite donnée, construire un
triangle équilatéral.
Proposition 2 Placer à un point donné un segment de
droite égal à une droite donnée.
Proposition 3 Étant donné deux segments de droites
inégaux, enlever du plus long un segment de droite égal au
plus court.
Proposition 4 Si deux triangles ont deux côtés égaux à
deux côtés respectivment, et ont leur angle contenu dans
ces côtés égaux l'un à l'autre, le triangle sera égal au
triangle et les autres angles seront égaux respectivement
c'est-à-dire sous-tendant les côtés respectifs.
Proposition 5 Dans un triangle isocèle, les angles à la
base sont égaux et si les côtés sont prolongés, les angles
sous la base seront égaux l'un à l'autre.
Tiré de Euclide, Les Éléments, vol.
1, Introduction générale, Livre I à IV, Introduction
générale ar Maurice Caveing, trad. et comm. par Bernard
vitrac, Paris : P.U.F., 1990, p. 518. Reproduit dans le
recueil à la page 234.
Proposition 1 Étant donné deux segments de droites, si
l'un d'eux est divisé en plusieurs segments, le rectangle
contenu par les deux droites est égal aux rectangles contenu
par le segment non coupé et chacun des autres segments.
[a(b+c+d+ ...) = ab + ac + ad + ...]
Proposition 5 Si une droite est coupée en segmentts égaux
et inégaux, le rectangle contenu dans les segments inégaux
du tout avec le carré sur le segment entre les points de
coupure sont égaux au carré sur la demi. [ ab + ((a-b)/2)2
= ((a+b)/2)2, x(d-x) = f2 ]
Proposition 6 Si une droite est coupée en deux parties
égales et une droite est ajoutée, le rectangle contenu dans
le segment total et le segment ajouté ensemble avec le carré
sur la demie est égal au carré sur la demie ajoutée du
segment. [ ab + ((a-b)/2)2 = ((a+b)/2)2,
x(d+x) = f2 ]
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Livre V : la théorie des proportions.(Voir les extraits
à télécharger ci-haut)
Un site intéressant : Les Éléments, avec une vision
"géométrique" avec des couleurs :
http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/byrne.html
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