Sphères de Dandelin

On peut définir les coniques comme des intersections d'un cône et d'un plan. Mais cette définition ne nous dit rien des foyers desdites coniques.

Le mathématicien belge Germinal Pierre Dandelin nous a montré comment retrouver lesdits foyers : ce sont les points de tangence des sphères inscrites dans le cône et tangentes au plan de coupe.

La figure ci-dessous peut nous aider à voir ce qui se passe : comme segments tangents à une sphère issus d'un même point, les segments WF₁ et WM₁ ont même longueur. Il en est de même pour les segments WF₂ et WM₂. D'où, dans le cas illustré (ellipse), on a WF₁ + WF₂ = WM₁ + WM₂ = une constante (la distance entre les cercles de tangence des sphères au cône).

J'ai vu et utilisé cet exemple au départ avec Cabri 3D. Mais quand Cabri 3D est devenu incompatible avec le web, j'ai porté l'exemple avec GeoGebra.