Théorème fondamental de l'algèbre

Cette figure GeoGebra illustre une démonstration du théorème fondamental de l'algèbre : tout polynôme p(z) non constant à coefficients complexes a au moins une racine complexe.

Le polynôme en question est défini par

• la glissière n, qui détermine son degré
• les points a₀, a₁, a₂, a_n-2, a_n-1 et a_n, qui définissent les coefficients des puissances correspondantes de z. La valeur de ces coefficients peut être redéfinie en déplaçant les points correspondants ou en les redéfinissant dans le champ de saisie (par exemple : a_{n-2}=3+4i )
  Note : en cas de conflit (exemple : a_n-1 et a₁, quand n=2), c'est le coefficient a₀, a₁ ou a₂ (ici a₁) qui prévaut.  

Sur le graphique de gauche (le domaine), on peut voir un point z circulant sur un cercle bleu, centré à l'origine. On peut redimentionner ce cercle bleu en déplaçant le point bleu pâle. On peut arrêter ou déclencher le mouvement du point z par un clic sur l'icône en bas à gauche.

Sur le graphique de droite (le codomaine), on peut voir le point correspondant p(z) circulant sur une courbe rouge, qui est en fait l'image du cercle bleu par le polynôme p(z).

Une racine z du polynôme p(z) correspond au cas où le point rouge p(z)  se situe exactement à l'origine du codomaine. En manipulant le rayon du cercle bleu ainsi que la position du point z sur ce cercle, on peut révéler une à une les n racines du polynôme : mais on travaille ici pour un polynôme particulier.
Note : pour nous aider dans notre démarche, GeoGebra nous permet de redéfiniir tant le domaine que le codomaine par des translations (glissers de souris) que des zooms (via la roulette de la souris).

Le raisonnement général découle des observations suivantes (quand p n'est pas un polynôme constant) :

• quand le rayon du cercle bleu est très petit, la courbe rouge se retrouve dans un très petit voisinnage du point p(0+0i)
• quand le rayon du cercle bleu est très grand, la courbe rouge se retrouve dans un grand anneau centré sur l'origine.
• pour passer de la première situation à la seconde (quand p(0) n'est pas 0), il faut forcément que la courbe rouge coupe l'origine.

 

Tout a commencé à la lecture d'une brochure de Gilbert Labelle, intitulée Introduction aux nombres complexes et applications (dont un extrait est reproduit dans le document suivant), dans laquelle on esquissait une preuve visuelle du théorème fondamental de l'algèbre. J'ai d'abord cherché à rendre cette approche plus dynamique, en utilisant le logiciel Graphing Calculator (voir le lien suivant). Par la suite, pour permettre que l'interactivité se transfère sur le web, j'en ai fait une version GeoGebra, à l'occasion du Congrès de l'AMQ 2016.