Les Fractions -

Problématiques de l'histoire des fractions

  • Pour nous, il y a trois sens à l'expression a/b : division, rapport, fraction
  • Rapport : une comparaison
  • Fraction : Mesure
    • Rapport de mesures
    • Fractions communes (tant de parties dans un tout divisé en un certain nombre de parties égales)
    • Fractions décimales
  • Il faut aussi s'intéresser à deux aspects de chacun des ces aspects :
    • Le symbolisme, et les manipulations opératoires qui y sont appliquées
    • Les appellations utilisées

L'Antiquité

  • Dans les mathématiques nobles - Grèce

    Pythagore

    • le rapport numérique permet de découvrir les relations cachées dans la nature.

      Musique, médecine, etc.

    • La découverte des incommensurables : besoin de rapport entre grandeurs incommensurables. Rôle central de la géométrie.

     

    Platon : le calcul noble, rôle de la monade.

    • L'arithmétique est divisée en deux parties :
      • L'arithmétique pratique, issue de mesures d'objets réels (les objets sont indéfiniment divisibles)
      • L'arithmétique théorique, basée sur la notion de monade, indivisible, le Un absolu.
    • La fraction (rapport numérique ou rapport de grandeurs) n'est pas un nombre. Le Un n'est d'ailleurs pas non plus un nombre.
    • Difficultés des relations entre nos trois sens de fractions :
      • Les rapports se traitent dans le cadre de la géométrie (Euclide, Éléments, Livre V), sans référence à quelque mesure que ce soit. Non numérique.
      • Les fractions : comparaison de deux nombres, donc en arithmétique. Dans l'arithmétique, vue plutôt comme un changement d'unité de mesure.
      • La division : application des aires, si en géométrie (changement de dimension), sens arithmétique, si en arithmétique.

       

  • Les mathématiques de bas étage

    Égypte (Papyrus de Rhind, par le scribe Ahmes, vers -1550 av. notre ère)

    • Fractions unitaires
      • Notation

        • Équation équivalente à x(2/3 + 1/2 + 1/7 + 1) = 37.

      (Smith, D.E., History of Mathematics, tome 2, p. 422.)

      Les trois premiers hiéroglyphe signifient « masse » (prononcé ahe ou hau) et tient lieu d'inconnue.

      La fraction 2/43, semble à la fois un rapport et une division (2 divisée en 43 parties).

    • Importance des rapports : la règle de fausse position

    Problème 24 : Une quantité et son septième ajoutés ensemble deviennent dix-neuf. Quel est cette quantité ?

    Supposons 7

    \
    1
    7
    \
    1/7
    1

    total
    8

    Autant de fois 8 doit être multiplié pour donner 19, autant de fois 7 doit être multiplié pour donner le nombre requis.
    1
    8
    \
    2
    16

    1/2
    4
    \
    1/4
    2
    \
    1/8
    1
    Total
    2 1/4 1/8
    \
    1
    2 1/4 1/8
    \
    2
    4 1/2 1/4
    \
    4
    9 1/2

    Fait cela donc :

    La quantité est
    16 1/2 1/8
    1/7
    2 1/4 1/8
    Total
    19
    • Exercice : Résoudre Une quantité et son cinquième ajoutés ensemble deviennent vingt-et-un. Quel est cette quantité ?

     

    • Exercice : Que devait faire le scribe pour mettre au carré le nombre fractionnaire 61 1/3 1/9 ?
      (voir Smith, t. 2, p. 224)

     

    Mésopotamie

    • Extension du système positionnel sexagésimal

     
    60x60
    60
    1
    1/60

    Exemple d'écriture

    (Tiré de van der Waerden, Science Awakening)

    • L'opération de division s'opère à l'aide d'une table d'inverses.

    Voici le début d'une telle table. N.B. Il manque des inverses (pourquoi ?) :

    1:2
    30
    1:8
    7;30
    1:3
    20
    1:9
    6;40
    1:4
    15
    1:10
    6
    1:5
    12
    1:12
    5
    1:6
    10
    1:15
    4

    (tiré de Van der Waerden, Science Awakening, p. 43)

    Un exemple de problème où par ailleurs la table est inutile, mais où on voit clairement la manipulation des fractions

    J'ai additionné sept fois le côté de mon carré et onze fois la surface : 6°15'. Tu inscriras 7 et 11. Tu porteras 11 à 6°15' : 1`8°45'. Tu fractionneras en deux 7 : 3°30'. t croiseras 3°30' et 3°30' : 12°15'. Tu ajouteras à 1`8°45' : 1`21°. C'est le carré de 9. Tu soustrairas 3°30', que tu as croisé, de 9 : tu inscriras 5°30. L'inverse de 11 ne peut être dénoué. Que dois-je poser à 11 qui me donne 5°30' ? 30', son quotient. Le côté du carré est 30'.

    (Tiréde Dedron, Itard, Mathématique et Mathématiciens)

La Grèce hellénique (Smith, D.E., History of Mathematics, t. 2)

Habituellement, écriture sou forme de fraction unitaire : une ou des lettres grecques représentant un nombre accompagnée(s) d'un symbole (parfois un ") indiquant qu'il s'agit d'une fraction.

1/3 :
1/4:

 

Quelques fractions ont des symboles particuliers, par exemple, 1/2, , 2/3, , qui signifie 1/2 + 1/6.

Chez Aristarque (v. 260 av. notre ère)

10 soixante et onzième : .

Ou encore 2/5 :

La Grèce hellénistique

Héron d'Alexandrie (v. 50) et Diophante (v. 275)

On retrouve la forme actuelle, mais sans barre et inversée. 19/4 s'écrit 19 au-dessous de 4.

Diophante (v. 275), dans son Arithmétique

Il développe aussi une notation pour ce que nous écrivons 1/x, 1/x2 :. Remarquons l'usage de la monade, spécifiquement représentée. Les fractions sont tout de même manipulées comme des nombres.

Dans la vie de tous les jours

La notation des fractions dans la vie de tous les jours est toutefois évitées par l'usage des unités de poids, qui servait aussi pour la monnaie. Ainsi,à Alexandrie au début de notre ère, on avait la table de correspondance suivante, à partir de la plus petite unité de mesure, le chalque :

Chalque
Huit chalques est une obole
Six oboles est une drachme
Cent drachmes est un mna
Soixante mnas est un talent
:

Il faut retenir le facteur de passage d’une unité à l’autre, car elles sont chaque fois différentes Les calculs s’en trouveront d’autant complexifiés. Cela nous rappelle le système anglais avec ses pieds, ses verges, ses milles. Par ailleurs chaque unité a un symbole :

Un chalque : X, une obole : I, une drachme : , un mna : H, un talent : T.

Il est aussi possible d’écrire des parties d’oboles. Ainsi la demi-obole se note C, le quart d’obole est représenté par T (à ne pas confondre avec le talent, même si le symbole est identique) et le huitième, le chalque, par X. Pour écrire une fraction de drachme, on se ramène à l’obole et à ses subdivisions. Ainsi, pour la huitième partie de drachme, on écrira C X X. Pour la quatrième partie, on écrira I C. Les enfants avaient ainsi à apprendre des tables de « fractions ».

On voit ces symboles sur la table à calculer de Salamis.

 

Les fractions unitaires restent les fractions utilisées dans la vie de tout les jours, si des fractions doivent effectivement être utilisées. Ainsi, une expressions comme « quinze seizième » sera écrite comme 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16. (Smith, D.E., t. 2, p. 214)

Rome

À Rome, l'élève doit apprendre un autre système de fractions, basé sur douze, le toute avec un vocabulaire complexe :

Calcus
Huit calcus est un scrupule
Vingt-quatre scrupules est une once
Douze onces est un as (monnaie) ou livre (poids)

On voit, avec ce second exemple, que les systèmes de mesure dont le facteur de conversion varie d’un niveau de passage à l’autre sont la règle. La belle régularité de notre système international constitue en fait une exception.

À Rome, le vocabulaire de l’once sert souvent pour nommer les parties d’un tout. Mais ce vocabulaire se révèle complexe. Pour parler des différents nombres d’onces, le Romains ne disent pas simplement, « une once, deux onces, trois onces, …, dix onces, onze onces », mais ils utilisent un vocabulaire complexe comme le montre le tableau qui suit. Dans les calculs, on se limite aux scrupules et l’on néglige les calcus.

Nombre d’onces
Nom
Symbole
Sens du nom
12
 as
|
  
11
 deunx
S.....
 Moins une once (de uncia)
10

Dextans

ou

Decunx

ou

Semis et triens
S....

Moins un sixième (d'as)
(de sextans)

dix onces (decem uniciae)

Une demie et un tiers d'as
9
 Dodrans
S...

Moins un quart (d'as)
(de quadrans)
8
 Bes
S..
 Deux parties d'as
(bis triens)
7
 Septunx
S.
 sept onces
(septem unciae)
6
 Semis
S
 Demi-as
(Semi-as)
5
 Quincunx
.....
 Cinq onces
(quinquae unciae)
4
 Triens
....
 Le tiers (d'as)
3
 Quadrans
...
 Le quart (d'as)
2
 Sextans
..

Le sixième (d'as)
1
 Uncia
.
 Once

 

Par ailleurs ce lourd vocabulaire transforme les calculs même simples en un difficile exercice de mémoire. Voici un exemple de la façon dont on récite les calculs sur les fractions : « Réponds, fils d’Albinus ; si d’un quincunx (cinq onces) tu enlèves une once, que reste-t-il ? Allons, qu’est-ce que tu attends pour répondre ? — Un triens. — Bien : tu sauras défendre tes sous ! Si (au contraire) on y ajoute une once, qu’est-ce que çà fait ? — Un semis (une moitié). » Pas surprenant que certaines écoles romaines aient eu un spécialiste, le calculator, qui enseignait ces manipulations à quelques élèves qui se destinaient au commerce ou à devenir fonctionnaires. D’ailleurs on peut ici remarquer que l’usage d’un vocabulaire étriqué pour les fractions a certainement limité la compréhension des pauvres élèves, et, sans doute, des maîtres.

Un dernier exemple :

seize as égale un denarius
un as : denarii semuncia sicilicus (1/24 + 1/48 de denarius)
trois as : denarrii sextans sicilicus (1/6 + 1/48 de denarius).



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