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Preuve de l'irrationalité de e


Prenons tout d’abord e comme étant la sommation suivante :
def e

Effectuons une preuve par l’absurde.
Supposons a et b, deux entiers tel que e rat. De plus, a est strictement positif et b est strictement supérieur à 1.
Par un artifice de calcul, nous posons la valeur x suivante :
def x

Nous allons montrer que x est un entier strictement positif et plus petit que 1. Cette contradiction établira l’irrationalité de e.

D’abord, montrons que x est un entier :
x entier
La première égalité est la retranscription de la définition de x établie précédemment. La deuxième égalité présente le e comme étant défini par l’hypothèse (si e est bien rationnel). La troisième égalité montre la distribution de b! dans la parenthèse.
   
Puisque b divise b! et que pour tout entier n compris entre 0 et b, n! divise b!, diviseurs sont des entiers, donc entiers sont aussi des entiers et leur différence est de même. Le x est bel et bien un entier.

Ensuite, montrons que x est strictement positif et qu’il est plus petit que un :
plusgrand et pluspetit
La première égalité est la définition même de x. La deuxième égalité change e pour sa première définition donnée dans cette section. La troisième égalité a simplifié la parenthèse en effectuant la soustraction.

Ainsi, en développant cette dernière égalité (qui est bien sur positive puisqu’il s’agit d’une sommation n’impliquant que des nombres positifs) nous obtenons :
developpement

Or, nous savons que cette sommation est positive, puisqu’elle n’est constituée que de termes positifs. En la simplifiant, nous obtenons :
simplifie
Cette sommation est évidemment plus petite que serie qui est une suite géométrique dont la raison est raison et qui est égale à unsurb. Par hypothèse, pluspetit et donc x est plus petit que 1.

Puisqu’il n’existe aucun entier strictement positif plus petit que un, il y a une contradiction. Donc, e est un nombre irrationnel.
CQFD (ce qu'il fallait démontrer).

Il existe bien sur d’autres preuves de l’irrationalité du nombre e, mais celle-ci est, à notre avis, la plus simple à expliquer et à comprendre.