Introduction à la géométrie riemannienne et kahlérienne

Exposés : Jeudi, 14:00-17:00, Salle Eole

Consultations : en prenant un rendez-vous par courriel

apostolov.vestislav@uqam.ca

Description du cours

Ce cours est proposé comme une introduction à la géométrie riemannienne et sa spécialisation sur les variétés complexes, la géométrie kahlérienne. Nous couvrirons les sujets classiques suivants : variétés riemanniennes, connexions, géodésiques. Exemples de variétés riemanniennes. Lemme de Gauss, application exponentielle, théorème de Hopf-Rinow. Transport parallèle, holonomie, théorème de réductibilité de deRham. Variation première et seconde de la longueur, champs de Jacobi. Courbure sectionnelle, courbure de Ricci, courbure scalaire. Théorèmes de Bonnet-Myers, de Synge, et de Cartan-Hadamard. Uniformisation des variétés riemanniennes à courbure sectionnelle constante. Théorème de Hodge-De Rham. Champs de Killing et le théorème de Bochner. Métriques kahlériennes sur une variété complexe: l'exemple de l'espace projectif complexe. Courbure sectionnelle holomorphe; le tenseur de Ricci et la courbure scalaire d'une variété kahléienne. Variétés de Calabi-Yau, Kahler-Einstein, et à courbure scalaire constante. Métriques extrémales de Calabi. Exemple : les surfaces complexes de Hirzebruch.

Présentation du cours

Références :

Les notes prises par les étudiant(e)s en classe seront la source principal. Voici quelques références utiles.

  • Arthur L. Besse. Einstein manifolds. Springer-Verlag, Berlin, 1987.

  • Olivier Biquard. Géomƒtrie différentielle et riemannienne. Notes de cours M2.

  • Sylvestre Gallot, Dominique Hullin, and Jacques Lafontaine. Riemannian geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, third edition, 2004.

  • S. Kobayashi and K. Nomizu. Foundations of Differential Geometry. Vol. I and II. Interscience Pub.

  • Simon Salamon. Riemanniann Geometry and Holonomy Groups. Pitman Res. Notes in Math. Longman 1989.

  • R. Narasimhan. Analysis on real and complex manifolds. Advanced Studies in Pure Mathematics. Masson et Cie-Paris, 1968.

  • A. Kostrikin and Y. Manin. Linear algebra and geometry. Gordon and Breach Science Publishers (ISBN: 90-5699-049-7).

  • F. Warner. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer-Verlag.


    Programme du cours (hebdomadaire)

  • Semaine 1 : Rappels sur la géométrie différentielle : variétés différentiables et complexes; exemples (espaces vectoriels et leur quotients, la sphère ronde, les espaces projectifs); applications lisses et difféomorphismes; les problèmes de classification et d'idéntifications. Exposé 1.

  • Semaines 2 et 3 : Fibrés vectoriels. Exemples : les fibrés tangent et co-tengent, le fibré tautologique. Existence de structure riemannienne sur un fibré. Métriques riemanniennes. Partition de l'unité lisse. Exposés 2 et 3.

  • Semaine 4 : Premiers exemples de variétés riemanniennes : l'espace euclidien, la sphère, l'espace hyperbolique réel, les tores plats. Produit cartésien et produit tordu (wrap product) des variétés riemanniennes. Revetements riemanniens. Invariants riemanniens : le volume riemannien.

  • Semaine 5 : La longueur d'une courbe et la distance riemannienne. Submersions riemanniennes : la métrique de Fubini-Study sur l'espace projectif complexe. Les tores plats. TD1.

  • Semaines 6 et 7 : Le groupe d'isométries riemanniennes de l'espace euclidien, la sphère, l'espace hyperbolique. Variétés riemanniennes homogènes. Les tores plats. La théorie de connexions sur un fibré. notes sur les connexions

  • Semaine 8 : Le transport parallèle. Connexions sans torison et connexions riemanniennes : le Théorème de Levi-Civita.

  • Semaine 9 : Les géodésiques riemanniennes. Existence locale et l'application exponentielle. Le Théorème du voisinage géodésiquement convexe. Le lemme de Gausse et géodésiques minimisantes.

  • Semaine 10 : Variétés riemanniennes complètes. Le Théorème de Hopf-Rinow. TD2.

  • Semaine 11 : La courbure d'une connexion. La courbure riemannienne : courbure sectionnelle, de Ricci, scalaire. La courbure et la topologie: Les théorèmes de Myers et de Synge.