Ce cours est proposé comme une introduction à la théorie et aux applications des équations différentielles ordinaires
et aux systèmes dynamiques.
plan de cours
Programme du cours (semaine par semaine)
Chapitre 1 : Notions et résultats de base.
Définition d'un système des EDO d'ordgre k. Condition initiale. Exemples : les EDO de Lotka-Voltera (prédation); modèle SIR (infection);
EDO de Newton de la mécanique classique.
Réduction à ordre 1. EDO autonomes. Champs de vecteurs et courbes intégrales. Le problème de Cauchy pour un EDO d'ordre 1.
Les théorèmes fondamentaux de la théorie des EDO: existence, unicité, et dépendence continue de la solution des conditions initiales.
Exemples: L'existence et la (non)-unicité dans le cas d'une EDO autonome d'ordre 1 sur la droite.
L'existence d'une solution infiniment définie pour les équations de Newton dans le cas d'énergie potentielle strictement positive.
exposé 1
exposé 2 Liste d'exercices 1
Chapitre 2 : Systèmes linéaires aux coefficients constants.
La théorie des systèmes linéaires autonomes. Exponentielle de matrices et la solution fondamentale. Exemples : le pendule mathématique avec frottement.
exposé 3
exposé 4 et 5 Liste d'exercices 2
Exponentielle de matrices sur des exemples. Systèmes linéaires non-homogènes.
exposé 6
Chapitre 3 : Existence et unicité de solutions
Preuve du Théorème de Cauchy-Lipschitz-I (existence de solution locale). Preuve du Théorème de Cauchy-Lipschitz-II (unicité de solution). La solution maximale et solutions globaux. Temps de vie : borne locale, compacité.
Le Théorème de sortie des compacts. Applications pour garantir l'existence de solutions globaux.
exposés 7 et 8
exposé 9
exposé 10 Liste d'exercices 3
Intégrales premières et orbites périodiques. Exemple : les équations de prédation. Le principe de comparaison : le Théorème de Gornwall.
Applications pour l'existence de solution globale d'un système des EDO linéaire non-autonome.
exposé 11
exposé 12
Devoir 1
Chapitre 4 : Dépendance continue et différentiable de la solution et le théorème du redressement d'un champ de vecteurs
Théorèmes de dépendance continue des conditions initiales et des paramètres de la solution locale. Différentiabilité par rapport à la condition
initiale. Difféomorphismes et changements de variables. Le Théorème de rederessement d'un champ de vecteurs.
exposé 13
exposé 14
exposé 15
Liste d'exercices 4
Chapitre 5 : Stabilité
Linéarisation d'un système autonome dans un point d'équilibre. Classification à première approximation. Stabilité de Lyapounov. Le Théorème de stabilté d'un système linéaire.
exposé 16 et 17
Liste d'exercices 5
Le Théorème de Lyapounov de stabilté asymptotique en première approximation. Fonctions de Lyapounov et stabilité.
exposé 18 Liste d'exercices 6
Chapitre 6 : Systèmes linéaires non-autonomes
L'espace de solutions; Système fondamental de solution; matrice fondamentale; wronskien. Théorème de Liouville. Applications : le système du balancoire.
exposé 19
Systèmes linéaires avec coefficients périodiques. La matrice de périodes. Critère de l'existence de solutions périodiques. Critère de la stabilité de solutions périodiques.
Applications : le stabilité de la solution stationnaire du système du balancoire.
exposé 20
Devoir 2
Chapitre 7 : Existence et non-existence des solutions périodiques pour un système planaire autonome
Existence des solutions périodiques : Théorème de Poincaré-Bendixson. Existence des points d'équilibre : Théorème de Poincaré. Non-existence de solutions périodiques: Théorèmes de Bendixson et de Dulac.
exposé 21
exposé 22
Chapitre 8 : Méthodes topologiques
L'indice de rotation d'un champ de vecteurs planaire; points d'équilibre isolés et leur indice. Le Théorème de Euler-Hopf. Champs de vecteurs sur la sphère.
Théorème de Hopf sur l'indice des champs de vecteurs sur la sphère.
exposé 23