Cette page web est le complément d'un article publié dans la revue Envol du GRMS (numéro 162, été-automne 2013). Vous pouvez accéder au contenu de l'article en question par un clic sur l'icône ci-contre.
Règle des signes via régularités dans la table de multiplication
L'animation ci-dessous décrit une façon particulièrement élémentaire de rendre la règle des signes très naturelle, très intuitive.
Nous nous intéressons, en particulier, au cas (-7) x (-8) = (+56).
Étape
0 : On part de la table de multiplication, quand les deux nombres sont positifs.
1 : On remarque que, dans la ligne du haut, quand on se déplace d'une case vers la gauche, le produit diminue de 8.
Il est tentant de prolonger (en rouge) cette ligne vers la gauche, en utilisant la régularité que nous venons de trouver.
2 : On remarque des régularités semblables pour toutes les autres lignes.
On les prolonge aussi (en rouge) vers la gauche.
3 : On remarque que, dans la colonne de gauche, quand on se déplace d'une case vers le bas, le produit augmente de 7.
Il est tentant de prolonger (en rouge) cette colonne vers le bas, en utilisant la régularité que nous venons de trouver.
4 : On remarque des régularités semblables pour toutes les autres colonnes.
On les prolonge aussi (en rouge) vers le bas.
5 : Retenons les résultats que nous venons d'obtenir.
On les comparera à d'autres résultats, obtenus à l'aide d'une autre méthode.
6 : On remarque que, dans la colonne de droite, quand on se déplace d'une case vers le bas, le produit diminue de 7.
Il est tentant de prolonger (en bleu) cette colonne vers le bas, en utilisant la régularité que nous venons de trouver.
7 : On remarque des régularités semblables pour toutes les autres colonnes.
On les prolonge aussi (en bleu) vers le bas.
8 : On remarque que, dans la ligne du bas, quand on se déplace d'une case vers la gauche, le produit augmente de 8.
Il est tentant de prolonger (en bleu) cette ligne vers la gauche, en utilisant la régularité que nous venons de trouver.
9 : On remarque des régularités semblables pour toutes les autres lignes.
On les prolonge aussi (en bleu) vers la gauche.
10: On remarque que les résultats obtenus par ces deux méthodes coïncident.
Comme nous le disait un élève, " ça balance! "
Dans la figure initiale, les deux nombres x et y sont du côté positif de l'axe horizontal. Veuillez prendre note de la construction, mettant en jeu deux paires de segments parallèles, permettant d'obtenir le produit x*y.
Si vous faites glisser l'un des nombres (x ou y) du côté négatif, vous pourrez constater que la construction utilisée fait aussi passer le produit x*y du côté négatif.
Par la suite, si vous faites glisser le second nombre du côté négatif, vous constaterez aussi que la même construction va ramener x*y du côté positif.
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